関数 $y = x^2 - 2x + 3$ において、$a \leq x \leq a+2$ の範囲での最小値を、$a < -1$, $-1 \leq a \leq 1$, $1 < a$ のそれぞれの場合について求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2x + 3$ において、$a \leq x \leq a+2$ の範囲での最小値を、$a < -1$, $-1 \leq a \leq 1$, $1 < a$ のそれぞれの場合について求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 - 1 + 3 = (x - 1)^2 + 2$

この関数のグラフは、頂点が $(1, 2)$ の下に凸な放物線です。

したがって、軸は $x = 1$ です。

(1) $a < -1$ の場合

区間 $a \leq x \leq a+2$ は、$x=1$ より左側にあります。

この範囲では、$x$ が大きいほど $y$ の値も大きくなります。

したがって、最小値は $x=a$ のときに取ります。

$y = a^2 - 2a + 3$

(2) $-1 \leq a \leq 1$ の場合

このとき、$a \leq x \leq a+2$ の範囲に $x=1$ が含まれるかどうかを考えます。

$a+2$ と $1$ の大小関係を考えると、$a \leq 1$ なので、$a+2 \leq 3$ です。

つまり、$a \leq 1 \leq a+2$ が常に成り立ちます。

したがって、区間 $a \leq x \leq a+2$ は軸 $x=1$ を含みます。

下に凸な放物線なので、軸上で最小値を取ります。

最小値は $y = 2$

(3) $1 < a$ の場合

区間 $a \leq x \leq a+2$ は、$x=1$ より右側にあります。

この範囲では、$x$ が小さいほど $y$ の値も小さくなります。

したがって、最小値は $x=a$ のときに取ります。

$y = a^2 - 2a + 3$

3. 最終的な答え

(1) $a < -1$ のとき、最小値は $a^2 - 2a + 3$

(2) $-1 \leq a \leq 1$ のとき、最小値は $2$

(3) $1 < a$ のとき、最小値は $a^2 - 2a + 3$