線形写像 $f: V \rightarrow W$ を考える。$V$ の基底は $\{v_2, v_3, v_1, v_5, v_4\}$ であり、$W$ の基底は $\{w'_1, w'_2\}$ である。ただし、$w'_1 = w_1 + 5w_2$ と $w'_2 = w_1 + w_2$ である。線形写像 $f$ の、$V$ の基底 $\{v_2, v_3, v_1, v_5, v_4\}$ と $W$ の基底 $\{w'_1, w'_2\}$ に関する表現行列を求める。

1. 問題の内容

線形写像 $f: V \rightarrow W$ を考える。$V$ の基底は $\{v_2, v_3, v_1, v_5, v_4\}$ であり、$W$ の基底は $\{w'_1, w'_2\}$ である。ただし、$w'_1 = w_1 + 5w_2$ と $w'_2 = w_1 + w_2$ である。線形写像 $f$ の、$V$ の基底 $\{v_2, v_3, v_1, v_5, v_4\}$ と $W$ の基底 $\{w'_1, w'_2\}$ に関する表現行列を求める。

2. 解き方の手順

問題文に $f(v_i)$ に関する情報が与えられていないため、一般的な解法を示すことができません。ここでは、例として $f(v_2)=w_1$, $f(v_3)=w_2$, $f(v_1)=0$, $f(v_5)=w_1+w_2$, $f(v_4)=w_1-w_2$ の場合の表現行列を求めます。

まず、$f(v_i)$ を基底 $\{w'_1, w'_2\}$ で表す必要があります。

$w_1$ と $w_2$ を $w'_1$ と $w'_2$ で表すために、以下の連立方程式を解きます。

$w'_1 = w_1 + 5w_2$

$w'_2 = w_1 + w_2$

第2式より $w_1 = w'_2 - w_2$。これを第1式に代入すると、

$w'_1 = (w'_2 - w_2) + 5w_2 = w'_2 + 4w_2$

よって、 $4w_2 = w'_1 - w'_2$, すなわち $w_2 = \frac{1}{4}w'_1 - \frac{1}{4}w'_2$

$w_1 = w'_2 - w_2 = w'_2 - (\frac{1}{4}w'_1 - \frac{1}{4}w'_2) = -\frac{1}{4}w'_1 + \frac{5}{4}w'_2$

したがって、$w_1 = -\frac{1}{4}w'_1 + \frac{5}{4}w'_2$ および $w_2 = \frac{1}{4}w'_1 - \frac{1}{4}w'_2$ が得られました。

次に、$f(v_i)$ を $\{w'_1, w'_2\}$ の線形結合で表します。

$f(v_2) = w_1 = -\frac{1}{4}w'_1 + \frac{5}{4}w'_2$

$f(v_3) = w_2 = \frac{1}{4}w'_1 - \frac{1}{4}w'_2$

$f(v_1) = 0 = 0w'_1 + 0w'_2$

$f(v_5) = w_1 + w_2 = (-\frac{1}{4}w'_1 + \frac{5}{4}w'_2) + (\frac{1}{4}w'_1 - \frac{1}{4}w'_2) = w'_2$

$f(v_4) = w_1 - w_2 = (-\frac{1}{4}w'_1 + \frac{5}{4}w'_2) - (\frac{1}{4}w'_1 - \frac{1}{4}w'_2) = -\frac{1}{2}w'_1 + \frac{3}{2}w'_2$

表現行列は、各 $f(v_i)$ の $\{w'_1, w'_2\}$ に関する係数を列ベクトルとして並べたものです。

3. 最終的な答え

表現行列は

$\begin{pmatrix}

-\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\

\frac{5}{4} & -\frac{1}{4} & 0 & 1 & \frac{3}{2}

\end{pmatrix}$

**注意:** $f(v_i)$ の具体的な情報が与えられていない場合、これが唯一の答えではありません。$f(v_i)$ の値に応じて表現行列は変わります。