問題は、数列に関する以下の3つの問いです。 (1) 公比が正の等比数列 $\{a_n\}$ があり、$a_4=2$, $a_6=8$ を満たしている。数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ を用いて表せ。 (2) 等差数列 $\{b_n\}$ があり、$b_3=25$, $b_5+b_6=40$ を満たしている。数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を $n$ を用いて表せ。また、$S_n$ を最大にする自然数 $n$ を $M$ とするとき、$M$, $S_M$ の値をそれぞれ求めよ。ただし、$S_n$ は数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和とする。 (3) $a_n>2025$ を満たす最小の自然数 $n$ を $N$ とするとき、$N$ の値を求めよ。また、このとき、$\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{b_k b_{k+1}}$ を求めよ。

1. 問題の内容

問題は、数列に関する以下の3つの問いです。

(1) 公比が正の等比数列 $\{a_n\}$ があり、$a_4=2$, $a_6=8$ を満たしている。数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $n$ を用いて表せ。

(2) 等差数列 $\{b_n\}$ があり、$b_3=25$, $b_5+b_6=40$ を満たしている。数列 $\{b_n\}$ の一般項 $b_n$ を $n$ を用いて表せ。また、$S_n$ を最大にする自然数 $n$ を $M$ とするとき、$M$, $S_M$ の値をそれぞれ求めよ。ただし、$S_n$ は数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和とする。

(3) $a_n>2025$ を満たす最小の自然数 $n$ を $N$ とするとき、$N$ の値を求めよ。また、このとき、$\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{b_k b_{k+1}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

等比数列 $\{a_n\}$ の公比を $r$ とすると、

$a_n = a_1 r^{n-1}$

$a_4 = a_1 r^3 = 2$

$a_6 = a_1 r^5 = 8$

$\frac{a_6}{a_4} = \frac{a_1 r^5}{a_1 r^3} = r^2 = \frac{8}{2} = 4$

$r = \pm 2$

公比は正なので、$r = 2$.

$a_1 2^3 = 8a_1 = 2$

$a_1 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

よって、$a_n = \frac{1}{4} \cdot 2^{n-1} = 2^{-2} \cdot 2^{n-1} = 2^{n-3}$

(2)

等差数列 $\{b_n\}$ の公差を $d$ とすると、

$b_n = b_1 + (n-1)d$

$b_3 = b_1 + 2d = 25$

$b_5 + b_6 = (b_1 + 4d) + (b_1 + 5d) = 2b_1 + 9d = 40$

$2b_1 + 4d = 50$

$2b_1 + 9d = 40$

$5d = -10$

$d = -2$

$b_1 + 2(-2) = 25$

$b_1 = 25 + 4 = 29$

よって、$b_n = 29 + (n-1)(-2) = 29 - 2n + 2 = 31 - 2n$

$S_n = \frac{n}{2}(b_1 + b_n) = \frac{n}{2}(29 + 31 - 2n) = \frac{n}{2}(60 - 2n) = n(30 - n)$

$S_n = -n^2 + 30n = -(n^2 - 30n) = -(n^2 - 30n + 225) + 225 = -(n - 15)^2 + 225$

$S_n$ は $n = 15$ のとき最大値 $225$ をとる。

よって、$M = 15$, $S_M = 225$.

(3)

$a_n > 2025$

$2^{n-3} > 2025$

$2^{11} = 2048 > 2025$

$n-3 = 11$

$n = 14$

$N = 14$

$\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{b_k b_{k+1}} = \sum_{k=1}^{14} \frac{1}{b_k b_{k+1}} = \sum_{k=1}^{14} \frac{1}{(31 - 2k)(31 - 2(k+1))} = \sum_{k=1}^{14} \frac{1}{(31 - 2k)(29 - 2k)}$

$\frac{1}{b_k b_{k+1}} = \frac{1}{(31 - 2k)(29 - 2k)} = \frac{A}{31 - 2k} + \frac{B}{29 - 2k}$

$1 = A(29 - 2k) + B(31 - 2k)$

$k = 14.5$ のとき $1 = A(0) + B(31 - 29) = 2B$ より $B = \frac{1}{2}$.

$k = 15.5$ のとき $1 = A(29-31) + B(0) = -2A$ より $A = -\frac{1}{2}$.

$\sum_{k=1}^{14} \frac{1}{(31 - 2k)(29 - 2k)} = \sum_{k=1}^{14} \frac{1}{2} (\frac{1}{29 - 2k} - \frac{1}{31 - 2k}) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{14} (\frac{1}{29 - 2k} - \frac{1}{31 - 2k})$

$= \frac{1}{2} ( (\frac{1}{27} - \frac{1}{29}) + (\frac{1}{25} - \frac{1}{27}) + \dots + (\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{-1} - \frac{1}{1}))$

$= \frac{1}{2} (\frac{1}{27} + \frac{1}{25} + \dots + \frac{1}{3} + \frac{1}{1} - \frac{1}{29} - \dots - \frac{1}{3} - \frac{1}{1} - \frac{1}{-1})$

$= \frac{1}{2} ( \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{27} - \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - ... - \frac{1}{29} )$

$= \frac{1}{2}(\frac{1}{29 - 2(14)} - \frac{1}{31 - 2(1)}) = \frac{1}{2}( 1 + \frac{1}{27} - \frac{1}{-1} ) = \frac{1}{2} (\frac{1}{29-2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}) = \frac{1}{2}( \frac{1}{1} - \frac{1}{29} )$.

$\frac{1}{2}( \frac{1}{29-28} - \frac{1}{31-2} ) = \frac{1}{2}( 1 - \frac{1}{29})$

$\frac{1}{b_k b_{k+1}} = \frac{1}{d}(\frac{1}{b_k} - \frac{1}{b_{k+1}}) = \frac{1}{-2} (\frac{1}{b_k} - \frac{1}{b_{k+1}})= -\frac{1}{2}(\frac{1}{b_k} - \frac{1}{b_{k+1}})$

$= \frac{1}{2}( \frac{1}{b_{k+1}} - \frac{1}{b_{k}})$

$\sum_{k=1}^{14} \frac{1}{b_k b_{k+1}} = \frac{1}{2} (\frac{1}{b_2} - \frac{1}{b_1}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{b_3} - \frac{1}{b_2})+ \dots + \frac{1}{2} (\frac{1}{b_{15}} - \frac{1}{b_{14}})$

$= \frac{1}{2}( \frac{1}{b_{15}} - \frac{1}{b_1} ) = \frac{1}{2} (\frac{1}{31-2(15)} - \frac{1}{31-2(1)} ) = \frac{1}{2}(\frac{1}{1} - \frac{1}{29})$

$= \frac{1}{2} (\frac{29-1}{29}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{28}{29} = \frac{14}{29}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2^{n-3}$

(2) $b_n = 31 - 2n$, $M = 15$, $S_M = 225$

(3) $N = 14$, $\sum_{k=1}^{N} \frac{1}{b_k b_{k+1}} = \frac{14}{29}$