複数の小問からなる数学の問題です。内容は、因数分解、不等式、二次関数、場合の数、箱ひげ図の読み取りです。

1. 問題の内容

複数の小問からなる数学の問題です。内容は、因数分解、不等式、二次関数、場合の数、箱ひげ図の読み取りです。

2. 解き方の手順

(1) $ax^2 + 2ax + x + 2$を因数分解します。

$ax^2 + 2ax + x + 2 = ax(x+2) + (x+2) = (ax+1)(x+2)$

(2) $-8 \le 3x - 5 \le 4$ を解きます。

$-8+5 \le 3x \le 4+5$

$-3 \le 3x \le 9$

$-1 \le x \le 3$

したがって、不等式の解は $-1 \le x \le 3$です。

$A = \{x | -1 \le x \le 3\}$, $B = \{x | x \ge a\}$ とします。$A \subset B$ となるためには、$3 \ge a$ でなければなりません。したがって、$a \le 3$です。

(3) $f(x) = 2x^2 - 6x + a$ のグラフの軸を求めます。

$f(x) = 2(x^2 - 3x) + a = 2(x - \frac{3}{2})^2 - 2(\frac{3}{2})^2 + a = 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + a$

したがって、グラフの軸は $x = \frac{3}{2}$です。

$f(x)$ の最小値は $-\frac{9}{2} + a$ です。最小値が $\frac{1}{2}$ であるとき、

$-\frac{9}{2} + a = \frac{1}{2}$

$a = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

したがって、$a = 5$です。

(4) 1から9までの9個の数字から異なる3個の数字を選んで3桁の整数を作る場合の数を求めます。

3桁の整数は $9 \times 8 \times 7 = 504$個できます。

500以上の整数を作る場合を考えます。百の位が5,6,7,8,9のいずれかであれば500以上になります。

百の位が5,6,7,8,9である確率は5通り。十の位は百の位で使った数以外の8通り。一の位は百の位と十の位で使った数以外の7通り。

よって、500以上の整数は $5 \times 8 \times 7 = 280$ 個できます。

(5) 箱ひげ図から四分位範囲を求めます。

四分位範囲は第3四分位数から第1四分位数を引いたものです。

第3四分位数は77点、第1四分位数は55点なので、四分位範囲は $77 - 55 = 22$点です。

箱ひげ図から読み取れる内容として必ず正しいものを探します。

1. 40点以上50点未満の生徒はちょうど6人いる：箱ひげ図から人数は特定できないので誤り。

2. 50点以上の生徒は18人以上いる：箱ひげ図だけでは人数は分からない。

3. 70点以上の生徒は12人以上いる：箱ひげ図だけでは人数は分からない。

4. 80点以上の生徒はちょうど6人いる：箱ひげ図だけでは人数は分からない。

選択肢は、

1. 40点以上50点未満の生徒はちょうど6人いる

2. 50点以上の生徒は18人以上いる

3. 70点以上の生徒は12人以上いる

4. 80点以上の生徒はちょうど6人いる

箱ひげ図は全体を４等分するので、５０点以上の生徒は全体の７５パーセントである。

よって、２４人のうちの７５パーセントは１８人である。したがって、５０点以上の生徒は１８人以上いる。

3. 最終的な答え

(1) $(ax+1)(x+2)$

(イ) $-1 \le x \le 3$

(ウ) $a \le 3$

(エ) $\frac{3}{2}$

(オ) $5$

(カ) $504$

(キ) $280$

(ク) $22$

(ケ) $2$