多項式$P(x)$について、以下の条件が与えられています。 * $P(x)$は$x-1$で割り切れる。 * $P(x)$を$x+2$で割った余りは9である。 * $P(x)$のすべての項の係数は実数である。 この条件のもとで、以下の問題を解きます。 (1) $P(1)$と$P(-2)$の値を求めよ。 (2) $P(x)$を$x^2 + x - 2$で割った余りを求めよ。 (3) $P(x)$は3次の項の係数が1である3次式であり、方程式$P(x) = 0$が異なる実数解をちょうど2個持つとき、$P(x)$を求めよ。

1. 問題の内容

多項式$P(x)$について、以下の条件が与えられています。

* $P(x)$は$x-1$で割り切れる。

* $P(x)$を$x+2$で割った余りは9である。

* $P(x)$のすべての項の係数は実数である。

この条件のもとで、以下の問題を解きます。

(1) $P(1)$と$P(-2)$の値を求めよ。

(2) $P(x)$を$x^2 + x - 2$で割った余りを求めよ。

(3) $P(x)$は3次の項の係数が1である3次式であり、方程式$P(x) = 0$が異なる実数解をちょうど2個持つとき、$P(x)$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $P(1)$と$P(-2)$の値を求める。

* $P(x)$は$x-1$で割り切れるので、$P(1) = 0$。

* $P(x)$を$x+2$で割った余りが9なので、剰余の定理より、$P(-2) = 9$。

(2) $P(x)$を$x^2 + x - 2$で割った余りを求める。

* $x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$と因数分解できる。

* $P(x)$を$x^2 + x - 2$で割った余りを$ax + b$とすると、

$P(x) = (x^2 + x - 2)Q(x) + ax + b$ (Q(x)は商)

* $P(1) = a(1) + b = a + b = 0$ より、$b = -a$。

* $P(-2) = a(-2) + b = -2a + b = 9$。

* $b = -a$を代入して、$-2a - a = -3a = 9$。よって、$a = -3$。

* $b = -a = -(-3) = 3$。

* したがって、余りは$-3x + 3$。

(3) $P(x)$を求める。

* $P(x)$は3次の項の係数が1である3次式で、$P(x) = 0$が異なる実数解をちょうど2個持つ。

* $P(x)$は$x-1$で割り切れるので、$x-1$を因数に持つ。

* $P(x) = (x-1)(x^2 + cx + d)$とおく。

* $P(x)$を$x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$で割った余りが$-3x + 3 = -3(x-1)$なので、

$P(x) = (x-1)(x+2)(x+k) -3(x-1) = (x-1)((x+2)(x+k)-3)$とおける。

* $P(x) = (x-1)(x^2+(k+2)x+2k-3)$

* $P(x) = 0$の異なる実数解が2つなので、$x^2 + (k+2)x + 2k-3 = 0$ が $x=1$ を解に持つか、重解を持つかのいずれかである。

* $x^2 + (k+2)x + 2k - 3 = 0$に$x=1$を代入すると、$1 + (k+2) + 2k - 3 = 0$。

$3k = 0$, $k = 0$。

$P(x) = (x-1)(x^2 + 2x - 3) = (x-1)(x-1)(x+3) = (x-1)^2(x+3)$。

* 判別式$D = (k+2)^2 - 4(2k-3) = k^2 + 4k + 4 - 8k + 12 = k^2 - 4k + 16 = (k-2)^2 + 12 > 0$なので、$x^2+(k+2)x+2k-3 = 0$は常に異なる2つの実数解を持つ。よって，$x^2 + (k+2)x + 2k-3 = 0$ が重解を持つ場合はない。

* したがって、$k = 0$ のとき、$P(x) = (x-1)^2(x+3)$。

3. 最終的な答え

(1) $P(1) = 0$, $P(-2) = 9$

(2) $-3x + 3$

(3) $P(x) = (x-1)^2(x+3) = x^3 + x^2 - 5x + 3$