与えられた線形代数の問題集を解きます。問題は、連立一次方程式、逆行列、行列の階数、行列式、線形変換に関するものです。

1. 問題の内容

与えられた線形代数の問題集を解きます。問題は、連立一次方程式、逆行列、行列の階数、行列式、線形変換に関するものです。

2. 解き方の手順

**

1. 連立一次方程式**

(1)

拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & 1 & 2 & 11 \\ 2 & 3 & -4 & 3 \end{pmatrix}$

第2行から第1行を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & -4 & 3 \end{pmatrix}$

第3行から第1行の2倍を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & -6 & -9 \end{pmatrix}$

第2行と第3行を入れ替えると

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -6 & -9 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

第1行から第2行を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 7 & 15 \\ 0 & 1 & -6 & -9 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

第1行から第3行の7倍を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -20 \\ 0 & 1 & -6 & -9 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

第2行に第3行の6倍を加えると

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -20 \\ 0 & 1 & 0 & 21 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

よって、$x = -20$, $y = 21$, $z = 5$

(2)

拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 1 & 1 & 2 & 11 \\ 2 & 2 & -4 & 3 \end{pmatrix}$

第2行から第1行を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 2 & 2 & -4 & 3 \end{pmatrix}$

第3行から第1行の2倍を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & -6 & -9 \end{pmatrix}$

第3行に第2行の6倍を加えると

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 21 \end{pmatrix}$

第3行は $0x + 0y + 0z = 21$ となり、これは矛盾しているので解なし。

(3)

拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 2 & -2 & 3 & 7 \\ 3 & 2 & -4 & -5 \\ 4 & -3 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

第1行を2で割ると

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3/2 & 7/2 \\ 3 & 2 & -4 & -5 \\ 4 & -3 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

第2行から第1行の3倍を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3/2 & 7/2 \\ 0 & 5 & -17/2 & -31/2 \\ 4 & -3 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

第3行から第1行の4倍を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3/2 & 7/2 \\ 0 & 5 & -17/2 & -31/2 \\ 0 & 1 & -4 & -10 \end{pmatrix}$

第2行を5で割ると

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3/2 & 7/2 \\ 0 & 1 & -17/10 & -31/10 \\ 0 & 1 & -4 & -10 \end{pmatrix}$

第3行から第2行を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3/2 & 7/2 \\ 0 & 1 & -17/10 & -31/10 \\ 0 & 0 & -23/10 & -69/10 \end{pmatrix}$

第3行を(-23/10)で割ると

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3/2 & 7/2 \\ 0 & 1 & -17/10 & -31/10 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

第1行に第2行を加えると

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1/10 & 4/10 \\ 0 & 1 & -17/10 & -31/10 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

第1行に第3行の(1/10)を加えると

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 7/10 \\ 0 & 1 & -17/10 & -31/10 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

第2行に第3行の(17/10)を加えると

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 7/10 \\ 0 & 1 & 0 & 20/10 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

よって、$x = 7/10$, $y = 2$, $z = 3$

**

2. 逆行列**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 1(6-2) - 2(4-1) + 1(4-3) = 4 - 6 + 1 = -1$

余因子行列は

$\begin{pmatrix} 4 & -3 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

転置行列は

$\begin{pmatrix} 4 & -2 & -1 \\ -3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

逆行列は

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 4 & -2 & -1 \\ -3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

**

3. 行列の階数**

(1)

$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ -2 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目と2行目を入れ替えると

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 4 & 2 \\ -2 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3行目に1行目の2倍を加えると

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 6 & 3 \end{pmatrix}$

2行目を2で割ると

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 6 & 3 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の3倍を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

階数は2

(2)

$\begin{pmatrix} 4 & -7 & 6 & 1 \\ 1 & 0 & 5 & 2 \\ -1 & 5 & 5 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

1行目と2行目を入れ替えると

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & 2 \\ 4 & -7 & 6 & 1 \\ -1 & 5 & 5 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の4倍を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & -7 & -14 & -7 \\ -1 & 5 & 5 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

3行目に1行目を加えると

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & -7 & -14 & -7 \\ 0 & 5 & 10 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

2行目を(-7)で割ると

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 10 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

3行目から2行目の5倍を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

4行目から2行目を引くと

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

階数は2

**

4. 行列式**

(1)

$\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} = 1(4) - (-2)(-2) = 4 - 4 = 0$

(2)

$\begin{vmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{vmatrix} = \cos\theta\cos\theta - (-\sin\theta)(\sin\theta) = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$

(3)

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(1+1) - 1(2+1) + 3(2-1) = 4 - 3 + 3 = 4$

(4)

$\begin{vmatrix} 1 & 15 & -31 \\ 0 & 2 & 28 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 1(2(3) - 28(0)) - 15(0) + (-31)(0) = 6$

(5)

$\begin{vmatrix} -1 & -4 & 5 & 1 \\ 1 & 3 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 4 & 3 \\ 2 & -4 & 3 & -4 \end{vmatrix} = -52$

(6)

$\begin{vmatrix} 3 & 8 & 4 & 2 \\ 6 & 5 & 9 & 1 \\ 7 & 2 & 7 & 8 \\ 5 & 3 & 2 & 2 \end{vmatrix} = -945$

**

5. 線形変換**

(1)

$\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5(2) + 3(3) \\ 4(2) + 2(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 + 9 \\ 8 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 \\ 14 \end{pmatrix}$

(2)

$A \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$A \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とすると

$2a + 5b = 2$

$2c + 5d = 1$

$a + 3b = -1$

$c + 3d = 2$

$a = -1 - 3b$ を $2a + 5b = 2$ に代入すると

$2(-1 - 3b) + 5b = 2$

$-2 - 6b + 5b = 2$

$-b = 4$

$b = -4$

$a = -1 - 3(-4) = -1 + 12 = 11$

$c = 2 - 3d$ を $2c + 5d = 1$ に代入すると

$2(2 - 3d) + 5d = 1$

$4 - 6d + 5d = 1$

$-d = -3$

$d = 3$

$c = 2 - 3(3) = 2 - 9 = -7$

$A = \begin{pmatrix} 11 & -4 \\ -7 & 3 \end{pmatrix}$

(3)

$f(\vec{a}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$, $f(\vec{b}) = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

$2c_1 + c_2 = 4$

$c_1 + 3c_2 = -3$

$c_1 = 4 - c_2$ を $c_1 + 3c_2 = -3$ に代入すると

$(4 - c_2) + 3c_2 = -3$

$2c_2 = -7$

$c_2 = -7/2$

$c_1 = 4 - (-7/2) = 8/2 + 7/2 = 15/2$

$f(\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}) = \frac{15}{2} f(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}) - \frac{7}{2} f(\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}) = \frac{15}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} - \frac{7}{2} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15/2 - 35/2 \\ 45/2 - 14/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20/2 \\ 31/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 \\ 31/2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

1. (1) $x = -20, y = 21, z = 5$ (2) 解なし (3) $x = 7/10, y = 2, z = 3$

2. $A^{-1} = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. (1) 2 (2) 2

4. (1) 0 (2) 1 (3) 4 (4) 6 (5) -52 (6) -945

5. (1) $\begin{pmatrix} 19 \\ 14 \end{pmatrix}$ (2) $A = \begin{pmatrix} 11 & -4 \\ -7 & 3 \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} -10 \\ 31/2 \end{pmatrix}$