行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ の逆行列を求める問題です。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ の逆行列を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 1(1\cdot3 - (-2)\cdot0) - 2((-1)\cdot3 - (-2)\cdot1) + 1((-1)\cdot0 - 1\cdot1) = 1(3) - 2(-3 + 2) + 1(0 - 1) = 3 - 2(-1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4$

行列式 $|A|$ は4なので、逆行列が存在します。

次に、余因子行列を求めます。余因子行列とは、各成分を余因子に置き換えた行列の転置行列です。

各成分の余因子を計算します。

$C_{11} = (1)(3) - (-2)(0) = 3$

$C_{12} = -((-1)(3) - (-2)(1)) = -(-3 + 2) = 1$

$C_{13} = (-1)(0) - (1)(1) = -1$

$C_{21} = -(2(3) - 1(0)) = -6$

$C_{22} = 1(3) - 1(1) = 2$

$C_{23} = -(1(0) - 2(1)) = 2$

$C_{31} = 2(-2) - 1(1) = -4 - 1 = -5$

$C_{32} = -(1(-2) - 1(-1)) = -(-2 + 1) = 1$

$C_{33} = 1(1) - 2(-1) = 1 + 2 = 3$

余因子行列は

$\begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ -6 & 2 & 2 \\ -5 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

この余因子行列の転置行列を求めます。

$\begin{pmatrix} 3 & -6 & -5 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

最後に、逆行列 $A^{-1}$ は、余因子行列の転置行列を $|A|$ で割ったものです。

$A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & -6 & -5 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & -\frac{6}{4} & -\frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{2}{4} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{2}{4} & \frac{3}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & -\frac{3}{2} & -\frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & -\frac{3}{2} & -\frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{pmatrix}$