与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ の逆行列を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ の逆行列を求める問題です。

2. 解き方の手順

拡大行列 $(A | E_3)$ を作り、基本変形を行って $(E_3 | A^{-1})$ の形に変形します。ここで、$E_3$は3次の単位行列です。

$(A | E_3) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目を基準に、2行目に1行目を足し、3行目から1行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目を3で割ります。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & -2 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目を基準に、1行目から2行目の2倍を引き、3行目に2行目の2倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{4}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 1 \end{pmatrix}$

3行目を$\frac{3}{4}$倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{pmatrix}$

3行目を基準に、1行目から3行目の$\frac{5}{3}$倍を引き、2行目に3行目の$\frac{1}{3}$倍を足します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{3}{4} & -\frac{3}{2} & -\frac{5}{4} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{pmatrix}$

よって、逆行列は

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & -\frac{3}{2} & -\frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & -6 & -5 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & -6 & -5 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$