関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $p$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ の逆関数が元の関数と一致するとき、定数 $p$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = \frac{2x+1}{x-p}$ の逆関数を求める。

$y = \frac{2x+1}{x-p}$ を $x$ について解く。

$y(x-p) = 2x+1$

$xy - py = 2x+1$

$xy - 2x = py + 1$

$x(y-2) = py+1$

$x = \frac{py+1}{y-2}$

したがって、逆関数は $y = \frac{px+1}{x-2}$ となる。

問題文より、逆関数が元の関数と一致するので、

$\frac{2x+1}{x-p} = \frac{px+1}{x-2}$ が成り立つ。

両辺の分母を払うと

$(2x+1)(x-2) = (px+1)(x-p)$

$2x^2 - 4x + x - 2 = px^2 - p^2x + x - p$

$2x^2 - 3x - 2 = px^2 + (1-p^2)x - p$

この等式がすべての $x$ について成り立つためには、各項の係数が一致する必要がある。

したがって、以下の連立方程式を得る。

$2 = p$

$-3 = 1-p^2$

$-2 = -p$

$p = 2$ を $-3 = 1-p^2$ に代入すると

$-3 = 1 - 2^2$

$-3 = 1 - 4$

$-3 = -3$ となり、整合性が取れる。

3. 最終的な答え

$p = 2$