関数 $y = \frac{ax+1}{x+2}$ の逆関数が、もとの関数と一致するとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{ax+1}{x+2}$ の逆関数が、もとの関数と一致するとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $y = \frac{ax+1}{x+2}$ の逆関数を求めるために、まず $x$ と $y$ を入れ替えます。

$x = \frac{ay+1}{y+2}$

次に、$y$ について解きます。

$x(y+2) = ay+1$

$xy+2x = ay+1$

$xy-ay = 1-2x$

$y(x-a) = 1-2x$

$y = \frac{1-2x}{x-a}$

したがって、逆関数は $y = \frac{-2x+1}{x-a}$ となります。

逆関数がもとの関数と一致するためには、以下の式が成り立つ必要があります。

$\frac{ax+1}{x+2} = \frac{-2x+1}{x-a}$

両辺の分子を比較して、

$ax+1 = -2x+1$ かつ $x+2 = x-a$　

分母を比較して、

$a = -2$

$x+2 = k(x-a)$　（kは比例定数）

$ax+1 = k(-2x+1)$

したがって、 $x+2$ が $x-a$ の定数倍となればよい。このとき、元々の関数とその逆関数が等しいと言う条件は、$f(f(x)) = x$ であることを意味します。

$f(f(x)) = f(\frac{ax+1}{x+2}) = \frac{a(\frac{ax+1}{x+2})+1}{\frac{ax+1}{x+2}+2} = \frac{a(ax+1)+(x+2)}{(ax+1)+2(x+2)} = \frac{a^2x+a+x+2}{ax+1+2x+4} = \frac{(a^2+1)x+(a+2)}{(a+2)x+5}$

これが $x$ に等しいので、

$\frac{(a^2+1)x+(a+2)}{(a+2)x+5} = x$

$(a^2+1)x + (a+2) = x((a+2)x + 5) = (a+2)x^2 + 5x$

$(a+2)x^2 + (5-a^2-1)x - (a+2) = 0$

$(a+2)x^2 + (4-a^2)x - (a+2) = 0$

これが任意の $x$ で成り立つには、それぞれの係数が0になる必要がある。

$a+2 = 0$

$4-a^2 = 0$

$a = -2$

関数 $y = \frac{ax+1}{x+2}$ の逆関数が元の関数と一致するということは、$a = -2$ であることを意味します。

$\frac{-2x+1}{x+2} = y$

$y = \frac{-2x+1}{x+2}$

$y(x+2) = -2x+1$

$yx+2y = -2x+1$

$yx+2x = 1-2y$

$x(y+2) = 1-2y$

$x = \frac{-2y+1}{y+2}$

3. 最終的な答え

$a = -1$