正の偶数列を、第n群に (2n-1) 個の数が入るように群に分けるとき、第n群の最初の数を求める問題。空欄ア、イ、ウ、エを埋める。

1. 問題の内容

正の偶数列を、第n群に (2n-1) 個の数が入るように群に分けるとき、第n群の最初の数を求める問題。空欄ア、イ、ウ、エを埋める。

2. 解き方の手順

* **空欄アについて:**

第1群から第(n-1)群までに入る数の個数は、各群の要素数の和である。

つまり、$1 + 3 + 5 + \dots + (2(n-1)-1) = \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1)$。

$\sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 2\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = n(n-1) - (n-1) = (n-1)(n-1) = (n-1)^2$

したがって、アには $(n-1)^2$ が入る。

* **空欄イについて:**

第n群の最初の数は、偶数の列の第何項であるか。

第1群から第(n-1)群までの項数に1を足せばよい。

したがって、イには $(n-1)^2 + 1$ が入る。

* **空欄ウについて:**

偶数列の第k項は $2k$ で表される。

第n群(n ≥ 2)の最初の数は、偶数列の第 $((n-1)^2+1)$ 項であるから、

$2((n-1)^2 + 1) = 2(n^2 - 2n + 1 + 1) = 2(n^2 - 2n + 2) = 2n^2 - 4n + 4$

したがって、ウには $2n^2 - 4n + 4$ が入る。

* **空欄エについて:**

第1群の最初の項は 2 である。

ウの式に $n = 1$ を代入すると $2(1)^2 - 4(1) + 4 = 2 - 4 + 4 = 2$ となり、第1群の最初の数と一致する。

したがって、エには 2 が入る。

3. 最終的な答え

ア: $(n-1)^2$

イ: $(n-1)^2 + 1$

ウ: $2n^2 - 4n + 4$

エ: 2