2つの2次関数 $y=3x^2-6x+5$ と $y=-x^2-4x+3$ をそれぞれ $y=a(x-p)^2+q$ の形に変形し、グラフを描き、軸と頂点を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの2次関数 $y=3x^2-6x+5$ と $y=-x^2-4x+3$ をそれぞれ $y=a(x-p)^2+q$ の形に変形し、グラフを描き、軸と頂点を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y=3x^2-6x+5$ の場合

まず、$x^2$ の係数である3で $x$ の項までをくくり出します。

$y = 3(x^2 - 2x) + 5$

次に、括弧の中を平方完成します。$x^2-2x$ を平方完成するには、$(x-1)^2 = x^2-2x+1$ となることを利用し、定数項を調整します。

$y = 3((x-1)^2 - 1) + 5$

括弧を外し、整理します。

$y = 3(x-1)^2 - 3 + 5$

$y = 3(x-1)^2 + 2$

よって、頂点は $(1, 2)$、軸は $x=1$ です。グラフは、頂点$(1,2)$をもち、$x^2$ の係数が3なので、下に凸な放物線になります。

(2) $y=-x^2-4x+3$ の場合

まず、$x^2$ の係数である-1で $x$ の項までをくくり出します。

$y = -(x^2 + 4x) + 3$

次に、括弧の中を平方完成します。$x^2+4x$ を平方完成するには、$(x+2)^2 = x^2+4x+4$ となることを利用し、定数項を調整します。

$y = -((x+2)^2 - 4) + 3$

括弧を外し、整理します。

$y = -(x+2)^2 + 4 + 3$

$y = -(x+2)^2 + 7$

よって、頂点は $(-2, 7)$、軸は $x=-2$ です。グラフは、頂点$(-2,7)$をもち、$x^2$ の係数が-1なので、上に凸な放物線になります。

3. 最終的な答え

(1) $y=3(x-1)^2+2$

頂点: $(1, 2)$

軸: $x=1$

(2) $y=-(x+2)^2+7$

頂点: $(-2, 7)$

軸: $x=-2$