与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 頂点が$(-2, 1)$で、点$(-1, 4)$を通る2次関数を求めます。 (2) 軸が直線$x = 2$で、2点$(-1, -7)$, $(1, 9)$を通る2次関数を求めます。 (3) 3点$(-1, 16)$, $(4, -14)$, $(5, -8)$を通る2次関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 頂点が$(-2, 1)$で、点$(-1, 4)$を通る2次関数を求めます。

(2) 軸が直線$x = 2$で、2点$(-1, -7)$, $(1, 9)$を通る2次関数を求めます。

(3) 3点$(-1, 16)$, $(4, -14)$, $(5, -8)$を通る2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

頂点が$(-2, 1)$なので、2次関数は $y = a(x + 2)^2 + 1$ と表せます。

このグラフが点$(-1, 4)$を通るので、 $x = -1, y = 4$ を代入すると、

$4 = a(-1 + 2)^2 + 1$

$4 = a(1)^2 + 1$

$4 = a + 1$

$a = 3$

したがって、2次関数は $y = 3(x + 2)^2 + 1 = 3(x^2 + 4x + 4) + 1 = 3x^2 + 12x + 12 + 1 = 3x^2 + 12x + 13$となります。

(2)

軸が$x = 2$なので、2次関数は $y = a(x - 2)^2 + q$ と表せます。

このグラフが点$(-1, -7)$と$(1, 9)$を通るので、それぞれ代入すると、

$-7 = a(-1 - 2)^2 + q = 9a + q$

$9 = a(1 - 2)^2 + q = a + q$

この2つの式から $a$ と $q$ を求めます。

$9a + q = -7$

$a + q = 9$

上の式から下の式を引くと、

$8a = -16$

$a = -2$

$q = 9 - a = 9 - (-2) = 11$

したがって、2次関数は $y = -2(x - 2)^2 + 11 = -2(x^2 - 4x + 4) + 11 = -2x^2 + 8x - 8 + 11 = -2x^2 + 8x + 3$ となります。

(3)

求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおきます。

このグラフが3点$(-1, 16)$, $(4, -14)$, $(5, -8)$を通るので、それぞれ代入すると、

$16 = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$

$-14 = a(4)^2 + b(4) + c = 16a + 4b + c$

$-8 = a(5)^2 + b(5) + c = 25a + 5b + c$

この3つの式から $a, b, c$ を求めます。

$a - b + c = 16$ (1)

$16a + 4b + c = -14$ (2)

$25a + 5b + c = -8$ (3)

(2) - (1): $15a + 5b = -30 \Rightarrow 3a + b = -6$ (4)

(3) - (2): $9a + b = 6$ (5)

(5) - (4): $6a = 12 \Rightarrow a = 2$

$b = -6 - 3a = -6 - 6 = -12$

$c = 16 - a + b = 16 - 2 - 12 = 2$

したがって、2次関数は $y = 2x^2 - 12x + 2$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x^2 + 12x + 13$

(2) $y = -2x^2 + 8x + 3$

(3) $y = 2x^2 - 12x + 2$