3次整式 $P(x)$ が与えられている。$P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが $8$、$ (x-1)^2$ で割ると余りが $x+10$ である。 (1) $P(x)$ を $ (x-2)(x-1)^2$ で割ったときの余りを求める。 (2) さらに、$P(0)=0$ のとき、$P(x)$ を求める。

1. 問題の内容

3次整式 $P(x)$ が与えられている。$P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが $8$、$(x-1)^2$ で割ると余りが $x+10$ である。

(1) $P(x)$ を $(x-2)(x-1)^2$ で割ったときの余りを求める。

(2) さらに、$P(0)=0$ のとき、$P(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$P(x)$ は3次式であり、$(x-2)(x-1)^2$ も3次式なので、$P(x)$ を $(x-2)(x-1)^2$ で割ったときの余りは2次以下の式になる。

余りを $ax^2+bx+c$ とおくと、

$P(x) = (x-2)(x-1)^2 Q(x) + ax^2+bx+c$ となる。ただし、$Q(x)$は定数。

$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると余りが $x+10$ であることから、$ax^2+bx+c$ を $(x-1)^2$ で割った余りも $x+10$ になる。

よって、$ax^2+bx+c = a(x-1)^2 + x+10 = a(x^2-2x+1)+x+10 = ax^2 +(-2a+1)x+(a+10)$ と表せる。

したがって、$P(x) = (x-2)(x-1)^2 Q(x) + a(x-1)^2 + x+10$ となる。

ここで、$P(2)=8$ であるから、$P(2) = a(2-1)^2 + 2+10 = a+12 = 8$。

よって、$a = -4$。

したがって、求める余りは $-4(x-1)^2+x+10 = -4(x^2-2x+1)+x+10 = -4x^2+8x-4+x+10 = -4x^2+9x+6$

(2)

$P(x) = (x-2)(x-1)^2 Q(x) -4(x-1)^2+x+10$ であり、$Q(x)$は定数である。

$P(0)=0$ より、$P(0) = (-2)(1)^2 Q(0) -4(1)+0+10 = -2Q +6 = 0$

よって、$Q = 3$

したがって、$P(x) = 3(x-2)(x-1)^2 -4(x-1)^2+x+10 = 3(x-2)(x^2-2x+1) -4(x^2-2x+1)+x+10 = 3(x^3-2x^2+x-2x^2+4x-2) -4x^2+8x-4+x+10 = 3(x^3-4x^2+5x-2) -4x^2+9x+6 = 3x^3-12x^2+15x-6 -4x^2+9x+6 = 3x^3-16x^2+24x$

3. 最終的な答え

$P(x)$ を $(x-2)(x-1)^2$ で割った余りは $-4x^2+9x+6$

$P(0)=0$ のとき、$P(x) = 3x^3-16x^2+24x$