与えられた4次方程式 $3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x + a = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $a$ の値をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x + a = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $a$ の値をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた4次方程式を $f(x) = 3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x + a$ とします。

異なる3つの実数解を持つということは、少なくとも一つの解が重解である必要があります。

そこで、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 12x^3 - 24x^2 - 12x + 24$

$f'(x) = 12(x^3 - 2x^2 - x + 2)$

$f'(x) = 12(x^2(x - 2) - (x - 2))$

$f'(x) = 12(x^2 - 1)(x - 2)$

$f'(x) = 12(x - 1)(x + 1)(x - 2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1, -1, 2$ のときです。

これらの $x$ の値に対して $f(x) = 0$ となるような $a$ を求めます。

$x = 1$ のとき:

$f(1) = 3 - 8 - 6 + 24 + a = 13 + a = 0$

$a = -13$

$x = -1$ のとき:

$f(-1) = 3 + 8 - 6 - 24 + a = -19 + a = 0$

$a = 19$

$x = 2$ のとき:

$f(2) = 3(16) - 8(8) - 6(4) + 24(2) + a = 48 - 64 - 24 + 48 + a = 8 + a = 0$

$a = -8$

次に、これらの $a$ の値に対して、本当に異なる3つの実数解を持つかを確認します。

$a = -13$ のとき、$f(x) = 3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x - 13 = (x-1)^2 (3x^2 - 2x - 13) = 0$

$3x^2 - 2x - 13 = 0$ の解は $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4(3)(13)}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{160}}{6} = \frac{1 \pm 2\sqrt{10}}{3}$. よって、異なる3つの実数解を持つ。

$a = 19$ のとき、$f(x) = 3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x + 19 = (x+1)^2 (3x^2 - 14x + 19) = 0$

$3x^2 - 14x + 19 = 0$ の解は $x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4(3)(19)}}{6} = \frac{14 \pm \sqrt{-32}}{6}$. 実数解を持たない。

$a = -8$ のとき、$f(x) = 3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x - 8 = (x-2)^2 (3x^2 + 4x - 2) = 0$

$3x^2 + 4x - 2 = 0$ の解は $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4(3)(2)}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{3}$. よって、異なる3つの実数解を持つ。

よって、$a = -13, -8$

3. 最終的な答え

a = -19, -8