実数 $x$ が $x \le -\frac{1}{6}$ を満たすとき、関数 $f(x) = \sqrt{9x^2 + 3x + \frac{1}{4}} + \sqrt{x^2 - 6x + 9}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

実数 $x$ が $x \le -\frac{1}{6}$ を満たすとき、関数 $f(x) = \sqrt{9x^2 + 3x + \frac{1}{4}} + \sqrt{x^2 - 6x + 9}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身をそれぞれ平方完成します。

$9x^2 + 3x + \frac{1}{4} = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (3x + \frac{1}{2})^2$

$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$

したがって、

$f(x) = \sqrt{(3x + \frac{1}{2})^2} + \sqrt{(x - 3)^2} = |3x + \frac{1}{2}| + |x - 3|$

$x \le -\frac{1}{6}$ なので、$3x \le -\frac{1}{2}$ であり、$3x + \frac{1}{2} \le 0$。

したがって $|3x + \frac{1}{2}| = -(3x + \frac{1}{2})$。

また、$x \le -\frac{1}{6}$ なので、$x < 3$ であり、$x - 3 < 0$。

したがって $|x - 3| = -(x - 3)$。

よって、

$f(x) = -(3x + \frac{1}{2}) - (x - 3) = -3x - \frac{1}{2} - x + 3 = -4x + \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$f(x) = -4x + \frac{5}{2}$