ある日に行われた100点満点の数学の試験の平均点が、A組、B組、C組の男女別に表にまとめられている。 (1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときのxの値を求める。 (2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるようなxの値を全て求める。 (3) 後日、C組の2人の男子が同じ試験を受験し、その2人の得点の和をk点とする。当初、C組の平均点がA組の平均点以上であったが、この2人の得点を加えて計算し直したところ、C組の平均点がA組の平均点より低くなった。このとき、xの値がただ1つに定まるようなkの値を全て求める。

1. 問題の内容

ある日に行われた100点満点の数学の試験の平均点が、A組、B組、C組の男女別に表にまとめられている。

(1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときのxの値を求める。

(2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるようなxの値を全て求める。

(3) 後日、C組の2人の男子が同じ試験を受験し、その2人の得点の和をk点とする。当初、C組の平均点がA組の平均点以上であったが、この2人の得点を加えて計算し直したところ、C組の平均点がA組の平均点より低くなった。このとき、xの値がただ1つに定まるようなkの値を全て求める。

2. 解き方の手順

(1) A組の平均点を求める。

A組の男子の合計点は $32 \times 60 = 1920$ 点。

A組の女子の合計点は $8 \times 70 = 560$ 点。

A組の合計点は $1920 + 560 = 2480$ 点。

A組の人数は $32 + 8 = 40$ 人。

A組の平均点は $\frac{2480}{40} = 62$ 点。

B組の平均点がA組の平均点と等しいとき、つまりB組の平均点が62点のとき、xの値を求める。

B組の男子の合計点は $(40-x) \times 65$ 点。

B組の女子の合計点は $x \times 56$ 点。

B組の合計点は $(40-x) \times 65 + 56x$ 点。

B組の人数は $40-x + x = 40$ 人。

B組の平均点は $\frac{(40-x) \times 65 + 56x}{40} = 62$

$(40-x) \times 65 + 56x = 62 \times 40$

$2600 - 65x + 56x = 2480$

$-9x = -120$

$x = \frac{120}{9} = \frac{40}{3}$

xは整数でなければならないので、xの値は存在しない。問題文を再確認すると、B組の平均点がA組の平均点と等しいとき、という条件がある。

B組の平均点は$\frac{(40-x)65 + 56x}{40} = \frac{2600-65x+56x}{40} = \frac{2600-9x}{40}$

これが62に等しいので、$\frac{2600-9x}{40} = 62$。これを解いて、$2600-9x=2480$。

$9x = 120$。$x= \frac{40}{3}$となり、xは整数にならないのでありえない。

問題文を読み直すと、B組の平均点がA組の平均点と等しいとき、ではなく、B組の合計点がA組の合計点と等しいとき、と解釈できる。

B組の合計点は $(40-x)65+56x$。A組の合計点は2480。

$(40-x)65+56x = 2480$

$2600-65x+56x = 2480$

$120 = 9x$

$x = \frac{40}{3}$となり、これもxが整数にならない。

再度問題文を確認すると、「B組の平均点がA組の平均点と等しいとき」ではなく、「B組の平均点がA組の平均点と等しいとき、xの値を求めよ」であり、「A組の平均点を求めよ」の続きの問題と解釈できる。

$x=1$から39の整数であるという条件を考慮する。B組の平均点がA組の平均点（62点）と等しいとき、xの値を求める。

$(40-x)65 + 56x = 40 \times 62 = 2480$

$2600-65x+56x = 2480$

$120 = 9x$

$x = \frac{120}{9} = \frac{40}{3} \approx 13.33$。整数ではない。

(2) C組の平均点がA組の平均点以上である条件を考える。

C組の男子の合計点は $(x+5) \times 59$ 点。

C組の女子の合計点は $(40-x) \times 64$ 点。

C組の合計点は $(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64$ 点。

C組の人数は $(x+5) + (40-x) = 45$ 人。

C組の平均点は $\frac{(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64}{45}$ 点。

これがA組の平均点62点以上である条件は、

$\frac{(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64}{45} \ge 62$

$59x + 295 + 2560 - 64x \ge 2790$

$-5x + 2855 \ge 2790$

$-5x \ge -65$

$5x \le 65$

$x \le 13$

B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上である条件を考える。

B組の合計得点は $(40-x) \times 65 + x \times 56 = 2600 - 65x + 56x = 2600 - 9x$

C組の合計得点は $(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64 = 59x + 295 + 2560 - 64x = -5x + 2855$

$|(2600 - 9x) - (-5x + 2855)| \ge 300$

$|2600 - 9x + 5x - 2855| \ge 300$

$|-4x - 255| \ge 300$

$|4x + 255| \ge 300$

$4x + 255 \ge 300$ または $4x + 255 \le -300$

$4x \ge 45$ または $4x \le -555$

$x \ge \frac{45}{4} = 11.25$ または $x \le -\frac{555}{4} = -138.75$

$x \ge 12$ または $x \le -138.75$

$1 \le x \le 39$ であるから、 $x \ge 12$。

$x \le 13$ と $x \ge 12$ を満たすxは $x = 12, 13$。

(3) C組の平均点がA組の平均点以上であったが、2人の得点を加えて計算し直したところ、C組の平均点がA組の平均点より低くなった。このとき、xの値がただ1つに定まるようなkの値を全て求める。

C組の2人の男子が試験を受け、それぞれの得点が$p$, $q$で、$p+q=k$とする。

C組の当初の平均点は $\frac{(x+5)59 + (40-x)64}{45}$

C組の人数は45人から47人になる。

新しいC組の平均点は $\frac{(x+5)59 + (40-x)64 + k}{47}$

当初、C組の平均点がA組の平均点以上であったので、

$\frac{(x+5)59 + (40-x)64}{45} \ge 62$。これは$x \le 13$となることを既に示した。

新しく計算したC組の平均点がA組の平均点より低いので、

$\frac{(x+5)59 + (40-x)64 + k}{47} < 62$

$59x+295+2560-64x+k < 62 \times 47$

$-5x+2855+k < 2914$

$-5x+k < 59$

$k < 5x+59$

$x$の値がただ一つに定まるような$k$の値を求める。

$x \le 13$を満たす整数のxの値は、$1, 2, 3, ..., 13$である。

$\frac{(x+5)59 + (40-x)64 + k}{47} < 62$を満たす必要があるので、$k < 5x + 59$。

また、$\frac{(x+5)59 + (40-x)64}{45} \ge 62$も満たしている必要がある。

$x = 13$となるのは、 $k < 5(13) + 59 = 65+59 = 124$のときである。

$x=12$のとき、$\frac{(12+5)59 + (40-12)64 + k}{47} < 62$なので、$\frac{17\times 59+28 \times 64 + k}{47} < 62$となり、

$1003 + 1792+k < 2914$なので、$2795+k<2914$となり、$k<119$。

つまり、$x=12$となるのは$k < 119$のとき。

$x=11$のとき、$\frac{(11+5)59 + (40-11)64 + k}{47} < 62$なので、$\frac{16\times 59+29 \times 64 + k}{47} < 62$となり、

$944+1856+k<2914$なので、$2800+k<2914$となり、$k<114$。

$x$の値がただ一つに定まるためには、 $119 \le k < 124$でなければならない。

よって、$k=119, 120, 121, 122, 123$

3. 最終的な答え

(1) A組の平均点は62点。B組の平均点がA組の平均点と等しくなるxの値は存在しない。

(2) x = 12, 13

(3) k = 119, 120, 121, 122, 123