与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & -1 & 1 \\

0 & 0 & -1 & 1 \\

-1 & -1 & -1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & 1

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

まず、行列式の性質を利用して計算を簡単にします。

4行目から1行目を引きます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & -1 & 1 \\

0 & 0 & -1 & 1 \\

-1 & -1 & -1 & 1 \\

1-1 & 1-0 & 1-(-1) & 1-1

\end{vmatrix}

=

\begin{vmatrix}

1 & 0 & -1 & 1 \\

0 & 0 & -1 & 1 \\

-1 & -1 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 2 & 0

\end{vmatrix}

$$

次に、第一列に関して余因子展開を行います。

$$

1 \cdot

\begin{vmatrix}

0 & -1 & 1 \\

-1 & -1 & 1 \\

1 & 2 & 0

\end{vmatrix}

- 0 \cdot ...

+ (-1) \cdot (-1)

\begin{vmatrix}

0 & -1 & 1 \\

0 & -1 & 1 \\

1 & 2 & 0

\end{vmatrix}

- 1 \cdot

\begin{vmatrix}

0 & -1 & 1 \\

0 & -1 & 1 \\

-1 & -1 & 1

\end{vmatrix}

$$

最初の3x3行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

0 & -1 & 1 \\

-1 & -1 & 1 \\

1 & 2 & 0

\end{vmatrix}

= 0 \cdot((-1)\cdot0 - 1\cdot2) - (-1)\cdot((-1)\cdot0 - 1\cdot1) + 1 \cdot((-1)\cdot2 - (-1)\cdot1) = 0 + (-1) + (-2+1) = -1 - 1 = -2

$$

2つ目と3つ目の3x3行列式の最初の2行が同じであるため、それらの行列式は0です。

したがって、元の行列式は $1 \cdot (-2) - 0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 = -2$ となります。

別の解法:

1行目を基準に余因子展開すると、

$1 * \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} - 0 * \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} + (-1) * \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} - 1 * \begin{vmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

$= 1 * (0*(-1*1 - 1*1) - (-1)*(-1*1 - 1*1) + 1*(-1*1 - (-1)*1)) - 0 + (-1) * (0*(-1*1 - 1*1) - 0*(-1*1 - 1*1) + 1*(-1*1 - (-1)*1)) - 1*(0*(-1*1 - 1*1) - 0*(-1*1 - 1*1) + (-1)*(-1*1 - (-1)*1))$

$= 1*(0 + 1*(-2) + 1*0) - 0 + (-1)*(0-0+1*0) -1*(0-0+(-1)*0)$

$= 1*(-2) - 0 + (-1)*0 - 1*0 = -2$

3. 最終的な答え

-2