与えられた2次式を平方完成させる問題です。具体的には、以下の4つの式を平方完成させます。 (1) $2x^2 - 8x - 3$ (2) $3x^2 + 9x + 4$ (3) $-2x^2 + 4x + 3$ (4) $-2x^2 - 6x + 1$

1. 問題の内容

与えられた2次式を平方完成させる問題です。具体的には、以下の4つの式を平方完成させます。

(1) $2x^2 - 8x - 3$

(2) $3x^2 + 9x + 4$

(3) $-2x^2 + 4x + 3$

(4) $-2x^2 - 6x + 1$

2. 解き方の手順

平方完成は、与えられた2次式を $a(x-p)^2 + q$ の形に変形することです。

各問題について、以下の手順で解きます。

(1) $x^2$ の係数でくくる。

(2) $(x + A)^2 = x^2 + 2Ax + A^2$ の形を利用して、括弧の中を平方完成させる。

(3) 平方完成した式を展開し、定数項を整理する。

以下、各問題の解答です。

(1) $2x^2 - 8x - 3$

$2x^2 - 8x - 3 = 2(x^2 - 4x) - 3$

$= 2\{(x - 2)^2 - 2^2\} - 3$

$= 2\{(x - 2)^2 - 4\} - 3$

$= 2(x - 2)^2 - 8 - 3$

$= 2(x - 2)^2 - 11$

(2) $3x^2 + 9x + 4$

$3x^2 + 9x + 4 = 3(x^2 + 3x) + 4$

$= 3\{(x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2\} + 4$

$= 3\{(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}\} + 4$

$= 3(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{27}{4} + 4$

$= 3(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{27}{4} + \frac{16}{4}$

$= 3(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{11}{4}$

(3) $-2x^2 + 4x + 3$

$-2x^2 + 4x + 3 = -2(x^2 - 2x) + 3$

$= -2\{(x - 1)^2 - (-1)^2\} + 3$

$= -2\{(x - 1)^2 - 1\} + 3$

$= -2(x - 1)^2 + 2 + 3$

$= -2(x - 1)^2 + 5$

(4) $-2x^2 - 6x + 1$

$-2x^2 - 6x + 1 = -2(x^2 + 3x) + 1$

$= -2\{(x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2\} + 1$

$= -2\{(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}\} + 1$

$= -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} + 1$

$= -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} + \frac{2}{2}$

$= -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $2(x - 2)^2 - 11$

(2) $3(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{11}{4}$

(3) $-2(x - 1)^2 + 5$

(4) $-2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{2}$