与えられた行列 $A$ と $B$ に対して、指定されたベクトルがそれぞれ固有ベクトルであることを確認し、対応する固有値を求めよ。 (1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ とベクトル $u = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ について、$Au = \lambda u$ および $Av = \lambda v$ が成り立つことを確認し、固有値 $\lambda$ を求める。 (2) 行列 $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ とベクトル $u = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$, $v = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $w = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ について、$Bu = \lambda u$, $Bv = \lambda v$, $Bw = \lambda w$ が成り立つことを確認し、固有値 $\lambda$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ と $B$ に対して、指定されたベクトルがそれぞれ固有ベクトルであることを確認し、対応する固有値を求めよ。

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ とベクトル $u = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ について、$Au = \lambda u$ および $Av = \lambda v$ が成り立つことを確認し、固有値 $\lambda$ を求める。

(2) 行列 $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ とベクトル $u = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$, $v = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $w = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ について、$Bu = \lambda u$, $Bv = \lambda v$, $Bw = \lambda w$ が成り立つことを確認し、固有値 $\lambda$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$Au$ を計算する。

$Au = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(1) + 1(1) \\ 1(1) + 3(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 4u$

したがって、ベクトル $u$ は行列 $A$ の固有ベクトルであり、対応する固有値は $\lambda = 4$ である。

次に、$Av$ を計算する。

$Av = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(1) + 1(-1) \\ 1(1) + 3(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = 2v$

したがって、ベクトル $v$ は行列 $A$ の固有ベクトルであり、対応する固有値は $\lambda = 2$ である。

(2)

まず、$Bu$ を計算する。

$Bu = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(1) + 0(0) + 3(-1) \\ 0(1) + 1(0) + 0(-1) \\ 3(1) + 0(0) + 3(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = 0u$

したがって、ベクトル $u$ は行列 $B$ の固有ベクトルであり、対応する固有値は $\lambda = 0$ である。

次に、$Bv$ を計算する。

$Bv = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(0) + 0(1) + 3(0) \\ 0(0) + 1(1) + 0(0) \\ 3(0) + 0(1) + 3(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1v$

したがって、ベクトル $v$ は行列 $B$ の固有ベクトルであり、対応する固有値は $\lambda = 1$ である。

最後に、$Bw$ を計算する。

$Bw = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(1) + 0(0) + 3(1) \\ 0(1) + 1(0) + 0(1) \\ 3(1) + 0(0) + 3(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} = 6 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 6w$

したがって、ベクトル $w$ は行列 $B$ の固有ベクトルであり、対応する固有値は $\lambda = 6$ である。

3. 最終的な答え

(1)

$u$ の固有値: $\lambda = 4$

$v$ の固有値: $\lambda = 2$

(2)

$u$ の固有値: $\lambda = 0$

$v$ の固有値: $\lambda = 1$

$w$ の固有値: $\lambda = 6$