$\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{15^k}$ の値を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{15^k}$ の値を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を等比数列の和の公式を使って計算します。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{15^k} = 2 \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{15} \right)^k$

等比数列の和の公式は、初項 $a$, 公比 $r$ (ただし $|r| < 1$), 項数 $n$ のとき、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

この問題では、$a = \frac{1}{15}$, $r = \frac{1}{15}$ なので、

$\sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{15} \right)^k = \frac{\frac{1}{15} \left( 1 - \left(\frac{1}{15}\right)^n \right)}{1 - \frac{1}{15}} = \frac{\frac{1}{15} \left( 1 - \frac{1}{15^n} \right)}{\frac{14}{15}} = \frac{1}{14} \left( 1 - \frac{1}{15^n} \right)$

したがって、

$2 \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{15} \right)^k = 2 \cdot \frac{1}{14} \left( 1 - \frac{1}{15^n} \right) = \frac{1}{7} \left( 1 - \frac{1}{15^n} \right)$

しかし、与えられた選択肢の中に $\frac{1}{7} \left( 1 - \frac{1}{15^n} \right)$ は存在しません。

選択肢をもう一度確認すると、選択肢(2) は $\frac{1}{14} \left( 1 - \frac{1}{15^n} \right)$ です。

問題文の式は $2 \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{15} \right)^k$ であり、$2$ がかかっているので、 選択肢(2) を2倍すると $\frac{1}{7} \left( 1 - \frac{1}{15^n} \right)$ となり、上記の計算結果と一致しません。

したがって、選択肢(5)が正解となります。

3. 最終的な答え

5