与えられた方程式または不等式を解きます。 (1) $2x^2 + 3x + 4 = 0$ (2) $x^3 - 7x - 6 = 0$ (3) $x^2 + 3x - 4 \geq 0$ (4) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ($0 \leq x < 2\pi$) (5) $2^{2x-1} = \frac{1}{8}$ (6) $\log_3(x+4) + \log_3(x-2) = 3$ (7) $\log_{\frac{1}{2}}(x+1) > -2$

1. 問題の内容

与えられた方程式または不等式を解きます。

(1) $2x^2 + 3x + 4 = 0$

(2) $x^3 - 7x - 6 = 0$

(3) $x^2 + 3x - 4 \geq 0$

(4) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ($0 \leq x < 2\pi$)

(5) $2^{2x-1} = \frac{1}{8}$

(6) $\log_3(x+4) + \log_3(x-2) = 3$

(7) $\log_{\frac{1}{2}}(x+1) > -2$

2. 解き方の手順

(1) $2x^2 + 3x + 4 = 0$

判別式 $D = 3^2 - 4(2)(4) = 9 - 32 = -23 < 0$ なので、実数解は存在しません。

解の公式から $x = \frac{-3 \pm \sqrt{-23}}{4} = \frac{-3 \pm i\sqrt{23}}{4}$

(2) $x^3 - 7x - 6 = 0$

$x = -1$ を代入すると $(-1)^3 - 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0$ なので、$x = -1$ は解です。

$(x+1)(x^2 - x - 6) = 0$

$(x+1)(x-3)(x+2) = 0$

よって、$x = -1, 3, -2$

(3) $x^2 + 3x - 4 \geq 0$

$(x+4)(x-1) \geq 0$

$x \leq -4$ または $x \geq 1$

(4) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ($0 \leq x < 2\pi$)

$x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

(5) $2^{2x-1} = \frac{1}{8}$

$2^{2x-1} = 2^{-3}$

$2x - 1 = -3$

$2x = -2$

$x = -1$

(6) $\log_3(x+4) + \log_3(x-2) = 3$

$\log_3((x+4)(x-2)) = 3$

$(x+4)(x-2) = 3^3 = 27$

$x^2 + 2x - 8 = 27$

$x^2 + 2x - 35 = 0$

$(x+7)(x-5) = 0$

$x = -7, 5$

真数条件 $x+4 > 0$ かつ $x-2 > 0$ より、$x > 2$ なので、$x = 5$

(7) $\log_{\frac{1}{2}}(x+1) > -2$

$x+1 < (\frac{1}{2})^{-2} = 4$ （底が1より小さいので不等号の向きが変わります。）

$x < 3$

真数条件 $x+1 > 0$ より、$x > -1$

よって、$-1 < x < 3$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{-3 \pm i\sqrt{23}}{4}$

(2) $x = -1, 3, -2$

(3) $x \leq -4$ または $x \geq 1$

(4) $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

(5) $x = -1$

(6) $x = 5$

(7) $-1 < x < 3$