実数 $a$ を用いて表された2つの直線、$(a+2)x + (a+3)y = 10$ と $6x + (2a-1)y = 5$ がある。 (1) 直線 $(a+2)x + (a+3)y = 10$ は $a$ の値にかかわらず定点を通る。その定点の座標を求める。 (2) 上記の2直線が平行であるときの $a$ の値を求める。 (3) 上記の2直線が垂直であるときの $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ を用いて表された2つの直線、$(a+2)x + (a+3)y = 10$ と $6x + (2a-1)y = 5$ がある。

(1) 直線 $(a+2)x + (a+3)y = 10$ は $a$ の値にかかわらず定点を通る。その定点の座標を求める。

(2) 上記の2直線が平行であるときの $a$ の値を求める。

(3) 上記の2直線が垂直であるときの $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $(a+2)x + (a+3)y = 10$ を $a$ について整理すると、

$a(x+y) + 2x + 3y = 10$

$a$ の値にかかわらずこの式が成り立つためには、

$x+y = 0$ かつ $2x + 3y = 10$

という連立方程式が成り立つ必要がある。

$y = -x$ を $2x + 3y = 10$ に代入すると、

$2x - 3x = 10$

$-x = 10$

$x = -10$

$y = -x = 10$

したがって、定点の座標は $(-10, 10)$ である。

(2)

2直線が平行であるための条件は、傾きが等しいことである。それぞれの直線の方程式を変形して傾きを求める。

$(a+3)y = -(a+2)x + 10$ より、

$y = -\frac{a+2}{a+3}x + \frac{10}{a+3}$ （ただし、$a \neq -3$）

$(2a-1)y = -6x + 5$ より、

$y = -\frac{6}{2a-1}x + \frac{5}{2a-1}$ （ただし、$a \neq \frac{1}{2}$）

よって、

$-\frac{a+2}{a+3} = -\frac{6}{2a-1}$

$\frac{a+2}{a+3} = \frac{6}{2a-1}$

$(a+2)(2a-1) = 6(a+3)$

$2a^2 -a + 4a -2 = 6a + 18$

$2a^2 + 3a - 2 = 6a + 18$

$2a^2 - 3a - 20 = 0$

$(2a+5)(a-4) = 0$

$a = -\frac{5}{2}, 4$

$a = -3$ のとき、直線1は $6x = 10$ より、$x = \frac{5}{3}$となり、$y$軸に平行な直線ではないため、解として適切である。

$a = \frac{1}{2}$ のとき、直線2は $6x = 5$ より、$x = \frac{5}{6}$となり、$y$軸に平行な直線ではないため、解として適切である。

したがって、$a = -\frac{5}{2}, 4$

(3)

2直線が垂直であるための条件は、傾きの積が $-1$ である。

$-\frac{a+2}{a+3} \cdot -\frac{6}{2a-1} = -1$

$\frac{6(a+2)}{(a+3)(2a-1)} = -1$

$6(a+2) = -(a+3)(2a-1)$

$6a + 12 = -(2a^2 -a + 6a -3)$

$6a + 12 = -2a^2 + a - 6a + 3$

$6a + 12 = -2a^2 -5a + 3$

$2a^2 + 11a + 9 = 0$

$(2a+9)(a+1) = 0$

$a = -\frac{9}{2}, -1$

$a = -3$ のとき、直線1は $6x = 10$ より、$x = \frac{5}{3}$となり、$y$軸に平行な直線ではないため、解として適切である。

$a = \frac{1}{2}$ のとき、直線2は $6x = 5$ より、$x = \frac{5}{6}$となり、$y$軸に平行な直線ではないため、解として適切である。

したがって、$a = -\frac{9}{2}, -1$

3. 最終的な答え

(1) 定点の座標: $(-10, 10)$

(2) $a$ の値（平行）: $a = -\frac{5}{2}, 4$

(3) $a$ の値（垂直）: $a = -\frac{9}{2}, -1$