与えられた式 $\frac{x^3-1}{8x+1} = \frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}{x^2+x+1}$ を満たす定数 $a, b, c$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式

$\frac{x^3-1}{8x+1} = \frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}{x^2+x+1}$

を満たす定数 $a, b, c$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、左辺を因数分解します。

$x^3-1$ は $(x-1)(x^2+x+1)$ と因数分解できるので、与えられた式は、

$\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{8x+1} = \frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}{x^2+x+1}$

となります。

ここで、右辺を通分します。

$\frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}{x^2+x+1} = \frac{a(x^2+x+1) + (bx+c)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{ax^2+ax+a + bx^2-bx+cx-c}{x^3-1} = \frac{(a+b)x^2 + (a-b+c)x + (a-c)}{x^3-1}$

したがって、

$\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{8x+1} = \frac{x^3-1}{8x+1} = \frac{(a+b)x^2 + (a-b+c)x + (a-c)}{x^3-1}$

という式ではなく、

$\frac{x^3-1}{8x+1} = \frac{a(x^2+x+1)+(bx+c)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}$

という式でもありません。問題文が正しくないようです。

問題文にある式

$\frac{x^3-1}{8x+1} = \frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}{x^2+x+1}$

の左辺が正しくないと判断し、画像にある問題の左辺を右辺と等しくなるように調整します。

まず、右辺を計算し、整理します。

$\frac{a(x^2+x+1)+(bx+c)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{a(x^2+x+1)+bx^2-bx+cx-c}{x^3-1} = \frac{(a+b)x^2 + (a-b+c)x + a-c}{x^3-1}$

仮に、

$\frac{8x+1}{x^3-1} = \frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}{x^2+x+1}$

だとすると、

$8x+1 = (a+b)x^2 + (a-b+c)x + a-c$

となるので、恒等式であるためには、以下の式が成り立ちます。

$a+b = 0$

$a-b+c = 8$

$a-c = 1$

$a+b = 0$ より $b = -a$

$a-b+c = 8$ に代入すると、$a-(-a)+c = 2a+c = 8$

$a-c=1$ より $c=a-1$

$2a+c=8$ に代入すると、$2a + a-1 = 3a-1 = 8$ なので $3a = 9$ よって $a=3$

$b = -a = -3$

$c = a-1 = 3-1 = 2$

3. 最終的な答え

$a=3, b=-3, c=2$

上記のように仮定すると、答えが得られます。