$(x+4)^4$ の展開式における $x^3$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(x+4)^4$ の展開式における $x^3$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を使います。二項定理は、

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

と表されます。

今回の問題では、$a = x$, $b = 4$, $n = 4$ です。

$x^3$ の係数を求めるので、$n-k = 3$ となる $k$ を探します。

$4-k = 3$ より $k = 1$ です。

したがって、$x^3$ の項は、

$\binom{4}{1} x^{4-1} 4^1 = \binom{4}{1} x^3 \cdot 4$

となります。

$\binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times (3 \times 2 \times 1)} = 4$

よって、$x^3$ の項は、$4 \cdot x^3 \cdot 4 = 16x^3$ となり、$x^3$ の係数は16です。

3. 最終的な答え

16