ある日に行われた100点満点の数学の試験の平均点が、A組、B組、C組の男女別に整理された表が与えられています。$x$ は1以上39以下の整数です。 (1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときの $x$ の値を求めます。 (2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるような $x$ の値をすべて求めます。 (3) 後日、試験を欠席していたC組の2人の男子が同じ試験を受験し、この2人の得点の和を $k$ 点とします。当初、C組の平均点がA組の平均点以上であったが、この2人の得点を加えて計算し直したところ、C組の平均点がA組の平均点より低くなりました。このとき、$x$ の値がただ1つに定まるような $k$ の値をすべて求めます。

1. 問題の内容

ある日に行われた100点満点の数学の試験の平均点が、A組、B組、C組の男女別に整理された表が与えられています。$x$ は1以上39以下の整数です。

(1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときの $x$ の値を求めます。

(2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるような $x$ の値をすべて求めます。

(3) 後日、試験を欠席していたC組の2人の男子が同じ試験を受験し、この2人の得点の和を $k$ 点とします。当初、C組の平均点がA組の平均点以上であったが、この2人の得点を加えて計算し直したところ、C組の平均点がA組の平均点より低くなりました。このとき、$x$ の値がただ1つに定まるような $k$ の値をすべて求めます。

2. 解き方の手順

(1) A組の平均点を求める。

A組の平均点は、

$\frac{32 \times 60 + 8 \times 70}{32+8} = \frac{1920 + 560}{40} = \frac{2480}{40} = 62$ 点です。

B組の平均点がA組の平均点と等しいとき、つまり62点なので、

$\frac{(40-x) \times 65 + x \times 55}{40-x+x} = 62$

$\frac{2600 - 65x + 55x}{40} = 62$

$2600 - 10x = 2480$

$10x = 120$

$x = 12$

(2) C組の平均点がA組の平均点以上である条件は、

$\frac{(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64}{x+5+40-x} \geq 62$

$\frac{59x + 295 + 2560 - 64x}{45} \geq 62$

$\frac{2855 - 5x}{45} \geq 62$

$2855 - 5x \geq 2790$

$65 \geq 5x$

$x \leq 13$

B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上である条件は、

$|(40-x) \times 65 + x \times 55 - ((x+5) \times 59 + (40-x) \times 64)| \geq 300$

$|(2600 - 65x + 55x) - (59x + 295 + 2560 - 64x)| \geq 300$

$|2600 - 10x - (2855 - 5x)| \geq 300$

$|-255 - 5x| \geq 300$

$|255 + 5x| \geq 300$

$255 + 5x \geq 300$ または $255 + 5x \leq -300$

$5x \geq 45$ または $5x \leq -555$

$x \geq 9$ または $x \leq -111$

$1 \leq x \leq 39$ であるので、$x \geq 9$

$x \leq 13$ かつ $x \geq 9$ より、 $x = 9, 10, 11, 12, 13$

(3) 当初、C組の平均点はA組の平均点以上であった。この条件は $x \leq 13$ でした。

2人の得点の和を $k$ 点とすると、新しいC組の平均点は、

$\frac{(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64 + k}{x+5+40-x+2} = \frac{2855 - 5x + k}{47}$

これがA組の平均点62点より低くなるので、

$\frac{2855 - 5x + k}{47} < 62$

$2855 - 5x + k < 2914$

$k < 59 + 5x$

$x$ の値がただ1つに定まるような $k$ の値を求めます。

$x$ のとりうる値は、$1, 2, ..., 13$ です。

$x$ が定まるとすると、 $59 + 5x$ の範囲で $k$ の値が1つだけになる必要があります。

$59 + 5x$ の最小値は $x=1$ のとき $59+5 = 64$

$59 + 5x$ の最大値は $x=13$ のとき $59+65 = 124$

$k < 59+5x$ で $x$ がただ一つに決まるとすると、ある整数 $k$ に対して、$k< 59+5x$ が成り立ち、$k\ge 59+5(x-1)$ および $k\ge 59+5(x+1)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) A組の平均点：62点, $x=12$

(2) $x = 9, 10, 11, 12, 13$

(3) (解けませんでした)