2次関数 $y=a(x-b)(x-c)$ のグラフをGとする。ただし、$a, b, c$は定数であり、$a \neq 0$とする。 (1) (i) Gがx軸と接するための必要十分条件における、$b$と$c$の関係を求める。 (ii) Gがx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件における、$b$と$c$の関係を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y=a(x-b)(x-c)$ のグラフをGとする。ただし、$a, b, c$は定数であり、$a \neq 0$とする。

(1) (i) Gがx軸と接するための必要十分条件における、$b$と$c$の関係を求める。

(ii) Gがx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件における、$b$と$c$の関係を求める。

2. 解き方の手順

(i) Gがx軸と接するための必要十分条件

Gがx軸と接するということは、2次方程式 $a(x-b)(x-c) = 0$ が重解を持つということである。

$a \neq 0$ より、$(x-b)(x-c) = 0$ が重解を持つことと同値である。

これは、$b = c$ のときに成り立つ。

(ii) Gがx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件

Gがx軸と異なる2点で交わるということは、2次方程式 $a(x-b)(x-c) = 0$ が異なる2つの実数解を持つということである。

$a \neq 0$ より、$(x-b)(x-c) = 0$ が異なる2つの実数解を持つことと同値である。

これは、$b \neq c$ のときに成り立つ。

3. 最終的な答え

(ア) の答え: 2

(イ) の答え: 4