以下の4つの連立方程式を、クラメルの公式を用いて解きます。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ x - 2y = 8 \end{cases}$ (3) $\begin{cases} 3x + y + 3z = 1 \\ -y + 2z = 2 \\ x - z = -2 \end{cases}$ (4) $\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

はい、承知いたしました。クラメルの公式を用いて連立方程式を解きます。

1. 問題の内容

以下の4つの連立方程式を、クラメルの公式を用いて解きます。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ x - 2y = 8 \end{cases}$

(3) $\begin{cases} 3x + y + 3z = 1 \\ -y + 2z = 2 \\ x - z = -2 \end{cases}$

(4) $\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

クラメルの公式は、連立一次方程式の解を、係数行列の行列式と、右辺の定数ベクトルを係数行列の一つの列と置き換えた行列式の比として表すものです。

(1)

係数行列式 $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (2)(-2) = -1 + 4 = 3$

$x = \frac{\begin{vmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}}{D} = \frac{(-4)(-1) - (2)(3)}{3} = \frac{4 - 6}{3} = \frac{-2}{3}$

$y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}}{D} = \frac{(1)(3) - (-4)(-2)}{3} = \frac{3 - 8}{3} = \frac{-5}{3}$

(2)

$\begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ x - 2y = 8 \end{cases}$

係数行列式 $D = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (3)(-2) - (2)(1) = -6 - 2 = -8$

$x = \frac{\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 8 & -2 \end{vmatrix}}{D} = \frac{(0)(-2) - (2)(8)}{-8} = \frac{-16}{-8} = 2$

$y = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 8 \end{vmatrix}}{D} = \frac{(3)(8) - (0)(1)}{-8} = \frac{24}{-8} = -3$

(3)

$\begin{cases} 3x + y + 3z = 1 \\ -y + 2z = 2 \\ x - z = -2 \end{cases}$

式を整理すると

$\begin{cases} 3x + y + 3z = 1 \\ 0x -y + 2z = 2 \\ x + 0y - z = -2 \end{cases}$

係数行列式 $D = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 3\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 3(1) - 1(-2) + 3(1) = 3 + 2 + 3 = 8$

$x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \end{vmatrix}}{D} = \frac{1(1-0) - 1(-2+4) + 3(0-2)}{8} = \frac{1 - 2 - 6}{8} = \frac{-7}{8}$

$y = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix}}{D} = \frac{3(-2+4) - 1(0-2) + 3(0-2)}{8} = \frac{6 + 2 - 6}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$z = \frac{\begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix}}{D} = \frac{3(2-0) - 1(0-2) + 1(0+1)}{8} = \frac{6 + 2 + 1}{8} = \frac{9}{8}$

(4)

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

係数行列式 $D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(-2-2) - 3(1-2) - 1(-1-2) = 2(-4) - 3(-1) - 1(-3) = -8 + 3 + 3 = -2$

$x = \frac{\begin{vmatrix} -3 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{vmatrix}}{D} = \frac{-3(-2-2) - 3(-1+4) - 1(1+4)}{-2} = \frac{12 - 9 - 5}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$

$y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -3 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix}}{D} = \frac{2(-1+4) + 3(1-2) - 1(2-1)}{-2} = \frac{6 - 3 - 1}{-2} = \frac{2}{-2} = -1$

$z = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 3 & -3 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}}{D} = \frac{2(-4-1) - 3(2-1) - 3(-1-2)}{-2} = \frac{-10 - 3 + 9}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $x = -\frac{2}{3}, y = -\frac{5}{3}$

(2) $x = 2, y = -3$

(3) $x = -\frac{7}{8}, y = \frac{1}{4}, z = \frac{9}{8}$

(4) $x = 1, y = -1, z = 2$