与えられた二次不等式 $-6x^2 - 19x - 15 < 0$ を解いてください。

1. 問題の内容

与えられた二次不等式 $-6x^2 - 19x - 15 < 0$ を解いてください。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に $-1$ を掛けて、 $x^2$ の係数を正にします。このとき、不等号の向きが変わることに注意してください。

$6x^2 + 19x + 15 > 0$

次に、左辺を因数分解します。

$(2x + 3)(3x + 5) > 0$

次に、$(2x + 3)(3x + 5) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$2x + 3 = 0$ より $x = -\frac{3}{2}$

$3x + 5 = 0$ より $x = -\frac{5}{3}$

したがって、$x = -\frac{3}{2}$ と $x = -\frac{5}{3}$ が境界になります。 数直線上でこれら2つの値を書き込むと、数直線は3つの区間に分割されます。

区間1: $x < -\frac{5}{3}$

区間2: $-\frac{5}{3} < x < -\frac{3}{2}$

区間3: $x > -\frac{3}{2}$

各区間からテスト値を選択し、元の不等式 $6x^2 + 19x + 15 > 0$ に代入して、どの区間が不等式を満たすかを調べます。

区間1 ($x < -\frac{5}{3}$): $x = -2$ を選択します。

$6(-2)^2 + 19(-2) + 15 = 24 - 38 + 15 = 1 > 0$ (満たす)

区間2 ($-\frac{5}{3} < x < -\frac{3}{2}$): $x = -1.6$ を選択します。

$6(-1.6)^2 + 19(-1.6) + 15 = 6(2.56) - 30.4 + 15 = 15.36 - 30.4 + 15 = -0.04 < 0$ (満たさない)

区間3 ($x > -\frac{3}{2}$): $x = -1$ を選択します。

$6(-1)^2 + 19(-1) + 15 = 6 - 19 + 15 = 2 > 0$ (満たす)

したがって、解は $x < -\frac{5}{3}$ または $x > -\frac{3}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$x < -\frac{5}{3}$ または $x > -\frac{3}{2}$