数列 $\{a_n\}$ が、初項 $a_1 = 2$ と漸化式 $a_{n+1} = a_n + n + 2$ ($n=1, 2, 3, \dots$) によって定められるとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、初項 $a_1 = 2$ と漸化式 $a_{n+1} = a_n + n + 2$ ($n=1, 2, 3, \dots$) によって定められるとき、この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} = a_n + n + 2$ から、$a_{n+1} - a_n = n + 2$ であることがわかります。

これは、数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $n+2$ であることを意味します。

したがって、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+2)$

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 2$

$a_n = 2 + \frac{(n-1)n}{2} + 2(n-1)$

$a_n = 2 + \frac{n^2 - n}{2} + 2n - 2$

$a_n = \frac{n^2 - n}{2} + 2n$

$a_n = \frac{n^2 - n + 4n}{2}$

$a_n = \frac{n^2 + 3n}{2}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1^2 + 3(1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$ となり、これは与えられた初項 $a_1 = 2$ と一致します。

したがって、$n \ge 1$ に対して、一般項は $a_n = \frac{n^2 + 3n}{2}$ で与えられます。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{n^2 + 3n}{2}$