初項が1、公比が3である等比数列において、初項から第n項までの和が初めて100より大きくなるのは第何項か、また、初めて1000より大きくなるのは第何項かを求める問題です。

1. 問題の内容

初項が1、公比が3である等比数列において、初項から第n項までの和が初めて100より大きくなるのは第何項か、また、初めて1000より大きくなるのは第何項かを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の和の公式を確認します。初項 $a$、公比 $r$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

で表されます。

この問題では、$a = 1$、$r = 3$ なので、

$S_n = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$

となります。

(1) $S_n > 100$ となる最小の $n$ を求めます。

$\frac{3^n - 1}{2} > 100$

$3^n - 1 > 200$

$3^n > 201$

$3^4 = 81$

$3^5 = 243$

よって、$n = 5$ で初めて $S_n > 100$ となります。

(2) $S_n > 1000$ となる最小の $n$ を求めます。

$\frac{3^n - 1}{2} > 1000$

$3^n - 1 > 2000$

$3^n > 2001$

$3^6 = 729$

$3^7 = 2187$

よって、$n = 7$ で初めて $S_n > 1000$ となります。

3. 最終的な答え

初めて100より大きくなるのは第5項。

初めて1000より大きくなるのは第7項。