与えられた2つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^2 + 3xy + y^2 - 1$ (2) $x^3 - 8y^3 - z^3 - 6xyz$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^2 + 3xy + y^2 - 1$

(2) $x^3 - 8y^3 - z^3 - 6xyz$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 3xy + y^2 - 1$ を因数分解します。

この式は、一見して因数分解できそうな形ではありません。しかし、$3xy$ があることから、$(x+y)^2$の形に近いことに気づきます。

$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$なので、$x^2 + 3xy + y^2 = (x+y)^2 + xy$となり、この式全体を因数分解することは難しいです。

与えられた式を$x$の2次式として考えると、$x^2 + 3yx + (y^2 - 1)$となります。

解の公式を使うと、

$x = \frac{-3y \pm \sqrt{(3y)^2 - 4(y^2 - 1)}}{2} = \frac{-3y \pm \sqrt{9y^2 - 4y^2 + 4}}{2} = \frac{-3y \pm \sqrt{5y^2 + 4}}{2}$

この式では因数分解できません。

この式を因数分解できると仮定すると、$(ax+by+c)(dx+ey+f)$の形になると考えられます。

しかし、この式を因数分解するのは難しいようです。

(2) $x^3 - 8y^3 - z^3 - 6xyz$ を因数分解します。

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ という因数分解の公式を思い出します。

この公式を適用できるように式を変形します。

$x^3 - 8y^3 - z^3 - 6xyz = x^3 + (-2y)^3 + (-z)^3 - 3(x)(-2y)(-z)$

ここで、$x, -2y, -z$を公式の$x, y, z$に対応させます。

すると、

$(x + (-2y) + (-z))(x^2 + (-2y)^2 + (-z)^2 - x(-2y) - (-2y)(-z) - x(-z))$

$= (x - 2y - z)(x^2 + 4y^2 + z^2 + 2xy - 2yz + zx)$

となります。

3. 最終的な答え

(1) 因数分解できません。

(2) $(x - 2y - z)(x^2 + 4y^2 + z^2 + 2xy - 2yz + zx)$