与えられた四次方程式 $2x^4 - 3x^3 - x^2 - 3x + 2 = 0$ を、以下の手順で解く問題です。 (1) 両辺を $x^2$ で割って、 $t = x + \frac{1}{x}$ で表す。 (2) $t$ の値を求め、それから $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた四次方程式 $2x^4 - 3x^3 - x^2 - 3x + 2 = 0$ を、以下の手順で解く問題です。

(1) 両辺を $x^2$ で割って、 $t = x + \frac{1}{x}$ で表す。

(2) $t$ の値を求め、それから $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた式 $2x^2 - 3x - 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}$ を変形します。

$2x^2 - 3x - 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} = 2(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 3(x + \frac{1}{x}) - 1$

$t = x + \frac{1}{x}$ を用いると、$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = t^2 - 2$ となります。

したがって、

$2(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 3(x + \frac{1}{x}) - 1 = 2(t^2 - 2) - 3t - 1 = 2t^2 - 4 - 3t - 1 = 2t^2 - 3t - 5$

したがって、空欄は順に $t$, 5 です。

(2)

$2t^2 - 3t - 5 = (2t - 5)(t + 1) = 0$

よって、$t = \frac{5}{2}, -1$

(i) $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$ のとき

両辺に $2x$ をかけると $2x^2 + 2 = 5x$ となり、$2x^2 - 5x + 2 = 0$

これは $(2x - 1)(x - 2) = 0$ と因数分解できるため、$x = \frac{1}{2}, 2$

(ii) $x + \frac{1}{x} = -1$ のとき

両辺に $x$ をかけると $x^2 + 1 = -x$ となり、$x^2 + x + 1 = 0$

3. 最終的な答え

(1)

空欄は順に $t$, $5$ です。

(2)

$t = \frac{5}{2}, -1$

(i) のとき、$x = \frac{1}{2}, 2$

(ii) のとき、$x^2 + x + 1 = 0$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$