$P(x)$ は実数係数の多項式で、$P(x) = 0$ は虚数解 $1 + \sqrt{2}i$ を持つ。このとき、$1 - \sqrt{2}i$ も $P(x) = 0$ の解であることを示す問題。具体的には、 (1) $1 \pm \sqrt{2}i$ を解とする $x^2$ の係数が1である2次方程式を求める。 (2) $P(x)$ を (1) で求めた2次式 $S(x)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $R(x) = mx + n$ ($m, n$ は実数) とすると、 $P(x) = S(x)Q(x) + R(x)$ となる。 (3) $1 + \sqrt{2}i$ が $P(x) = 0$ と $S(x) = 0$ の解であることを利用して、$R(1 + \sqrt{2}i) = 0$ となることから、$m$ と $n$ の値を求める。 (4) $R(x) = 0$ となることから、$1 - \sqrt{2}i$ も $P(x) = 0$ の解であることを示す。

1. 問題の内容

$P(x)$ は実数係数の多項式で、$P(x) = 0$ は虚数解 $1 + \sqrt{2}i$ を持つ。このとき、$1 - \sqrt{2}i$ も $P(x) = 0$ の解であることを示す問題。具体的には、

(1) $1 \pm \sqrt{2}i$ を解とする $x^2$ の係数が1である2次方程式を求める。

(2) $P(x)$ を (1) で求めた2次式 $S(x)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $R(x) = mx + n$ ($m, n$ は実数) とすると、

$P(x) = S(x)Q(x) + R(x)$

となる。

(3) $1 + \sqrt{2}i$ が $P(x) = 0$ と $S(x) = 0$ の解であることを利用して、$R(1 + \sqrt{2}i) = 0$ となることから、$m$ と $n$ の値を求める。

(4) $R(x) = 0$ となることから、$1 - \sqrt{2}i$ も $P(x) = 0$ の解であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) $1 \pm \sqrt{2}i$ を解とする $x^2$ の係数が1である2次方程式は、解と係数の関係より、

$x^2 - (\text{解の和})x + (\text{解の積}) = 0$

解の和は $1 + \sqrt{2}i + 1 - \sqrt{2}i = 2$

解の積は $(1 + \sqrt{2}i)(1 - \sqrt{2}i) = 1 - (\sqrt{2}i)^2 = 1 - (-2) = 3$

したがって、

$x^2 - 2x + 3 = 0$

よって、$S(x) = x^2 - 2x + 3$。ア=2、イ=3。

(2) $P(x)$ を $S(x)$ で割ったときの商が $Q(x)$、余りが $R(x)$ であるから、

$P(x) = S(x)Q(x) + R(x)$

ウ = $S(x)Q(x) + R(x)$

(3) $R(x) = mx + n$ であり、$1 + \sqrt{2}i$ が $P(x) = 0$ と $S(x) = 0$ の解であるから、$P(1+\sqrt{2}i) = 0$ かつ $S(1+\sqrt{2}i) = 0$。

これらを $P(x) = S(x)Q(x) + R(x)$ に代入すると、

$0 = 0 \cdot Q(1+\sqrt{2}i) + R(1+\sqrt{2}i)$

よって、$R(1+\sqrt{2}i) = 0$。エ=0。

$R(1 + \sqrt{2}i) = m(1 + \sqrt{2}i) + n = (m+n) + m\sqrt{2}i = 0$

$m, n$ は実数であるから、

$m+n = 0$

$m\sqrt{2} = 0$

したがって、$m = 0$ かつ $n = 0$。オ=0、カ=0。

(4) $R(x) = mx + n = 0x + 0 = 0$

したがって、$P(x) = S(x)Q(x)$

$P(1 - \sqrt{2}i) = S(1 - \sqrt{2}i)Q(1 - \sqrt{2}i) = 0 \cdot Q(1 - \sqrt{2}i) = 0$

なぜならば、$S(x) = x^2 - 2x + 3$ の解は $1 \pm \sqrt{2}i$ だから、$S(1 - \sqrt{2}i) = 0$。

よって、$1 - \sqrt{2}i$ も $P(x) = 0$ の解である。

$R(x)=0$ より、キ=$R(x)=0$

3. 最終的な答え

ア=2

イ=3

ウ=$S(x)Q(x) + R(x)$

エ=0

オ=0

カ=0

キ=$R(x)=0$