与えられた式 $\frac{2x-1}{x^2-x-2} + \frac{2x+1}{x^2+3x+2}$ を計算し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{2x-1}{x^2-x-2} + \frac{2x+1}{x^2+3x+2}$ を計算し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、各分数の分母を因数分解します。

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{2x-1}{(x-2)(x+1)} + \frac{2x+1}{(x+1)(x+2)}$

次に、共通の分母を求めます。共通の分母は $(x-2)(x+1)(x+2)$です。

各分数の分子と分母に、必要な因子を掛けて、共通の分母を持つようにします。

$\frac{(2x-1)(x+2)}{(x-2)(x+1)(x+2)} + \frac{(2x+1)(x-2)}{(x-2)(x+1)(x+2)}$

次に、分子を展開します。

$(2x-1)(x+2) = 2x^2 + 4x - x - 2 = 2x^2 + 3x - 2$

$(2x+1)(x-2) = 2x^2 - 4x + x - 2 = 2x^2 - 3x - 2$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{2x^2 + 3x - 2}{(x-2)(x+1)(x+2)} + \frac{2x^2 - 3x - 2}{(x-2)(x+1)(x+2)}$

次に、分子を加えます。

$(2x^2 + 3x - 2) + (2x^2 - 3x - 2) = 4x^2 - 4$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{4x^2 - 4}{(x-2)(x+1)(x+2)}$

次に、分子を因数分解します。

$4x^2 - 4 = 4(x^2 - 1) = 4(x-1)(x+1)$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{4(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+1)(x+2)}$

次に、共通因子 $(x+1)$ を約分します。

$\frac{4(x-1)}{(x-2)(x+2)}$

最後に、分母を展開します。

$(x-2)(x+2) = x^2 - 4$

したがって、最終的な式は次のようになります。

$\frac{4(x-1)}{x^2 - 4} = \frac{4x-4}{x^2-4}$

3. 最終的な答え

$\frac{4x-4}{x^2-4}$