与えられた2次関数 $y = 2(x-1)^2 - 8$ について、以下の問いに答えます。 (1) 頂点の座標 (2) 最大値・最小値 (3) グラフとx軸との交点の座標

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = 2(x-1)^2 - 8$ について、以下の問いに答えます。

(1) 頂点の座標

(2) 最大値・最小値

(3) グラフとx軸との交点の座標

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標:

与えられた式は平方完成された形 $y = a(x-p)^2 + q$ なので、頂点の座標は $(p, q)$ で与えられます。

この場合、$p=1$、$q=-8$ なので、頂点の座標は $(1, -8)$ です。

与えられた式を展開します。

$y = 2(x-1)^2 - 8 = 2(x^2 - 2x + 1) - 8 = 2x^2 - 4x + 2 - 8 = 2x^2 - 4x - 6$

$x^2$の係数が正なので、グラフは下に凸の放物線になります。したがって、頂点で最小値をとります。

最大値は存在しません。

(2) 最大値・最小値:

頂点のy座標が最小値となるので、最小値は $-8$ です。このときのxの値は頂点のx座標なので $x=1$ です。

最大値は存在しません。

(3) グラフとx軸との交点の座標:

x軸との交点を求めるには、$y = 0$ となるxの値を求めます。

$2(x-1)^2 - 8 = 0$

$(x-1)^2 - 4 = 0$

$(x-1)^2 = 4$

$x-1 = \pm 2$

$x = 1 \pm 2$

よって、$x = 3$ または $x = -1$ となります。

したがって、x軸との交点の座標は $(-1, 0)$ と $(3, 0)$ です。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(1, -8)$

展開した式：$y = 2x^2 - 4x - 6$

(2) 最小値: $-8$ $(x = 1)$, 最大値: なし

(3) x軸との交点の座標: $(-1, 0)$, $(3, 0)$