関数 $y = ax^2 + 2ax + b$ （$-2 \le x \le 1$）の最大値が5、最小値が3となるように、定数 $a, b$ の値を求めよ。ただし、$a > 0$ とする。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2 + 2ax + b$ （$-2 \le x \le 1$）の最大値が5、最小値が3となるように、定数 $a, b$ の値を求めよ。ただし、$a > 0$ とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = ax^2 + 2ax + b = a(x^2 + 2x) + b = a(x^2 + 2x + 1 - 1) + b = a(x+1)^2 - a + b$

したがって、軸は $x = -1$ であり、定義域 $-2 \le x \le 1$ に含まれます。

$a > 0$ より、下に凸なグラフであるため、軸 $x = -1$ で最小値をとります。最小値は $-a + b = 3$ となります。

最大値は、軸から最も遠い $x = 1$ でとります。

$x = 1$ のとき、$y = a(1+1)^2 - a + b = 4a - a + b = 3a + b$

よって、$3a + b = 5$ となります。

連立方程式

$-a + b = 3$

$3a + b = 5$

を解きます。

下の式から上の式を引くと、$4a = 2$ となり、$a = \frac{1}{2}$ が得られます。

$-a + b = 3$ に代入すると、$-\frac{1}{2} + b = 3$ より、$b = \frac{7}{2}$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{7}{2}$