数列 $1, 1+2, 1+2+4, 1+2+4+8, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $1, 1+2, 1+2+4, 1+2+4+8, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、第 $k$ 項を求める。第 $k$ 項は、初項 1、公比 2、項数 $k$ の等比数列の和である。

したがって、第 $k$ 項 $a_k$ は、

$$a_k = \frac{1 \cdot (2^k - 1)}{2 - 1} = 2^k - 1$$

次に、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2^k - 1) = \sum_{k=1}^{n} 2^k - \sum_{k=1}^{n} 1$$

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^k - \sum_{k=1}^{n} 1 = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} - n = 2(2^n - 1) - n = 2^{n+1} - 2 - n$$

3. 最終的な答え

$S_n = 2^{n+1} - n - 2$