連続する2つの奇数について、大きい数の平方から小さい数の平方を引いた差が何かの倍数になるかを求め、さらに、それが大きい奇数の何倍になるかを証明する問題です。

1. 問題の内容

連続する2つの奇数について、大きい数の平方から小さい数の平方を引いた差が何かの倍数になるかを求め、さらに、それが大きい奇数の何倍になるかを証明する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 連続する2つの奇数を $n$ を整数として、$2n+1$ と $2n+3$ と表します。

(2) 大きい奇数の平方から小さい奇数の平方を引いた差を計算します。

$(2n+3)^2 - (2n+1)^2 = (4n^2 + 12n + 9) - (4n^2 + 4n + 1) = 8n + 8 = 8(n+1)$

(3) $8(n+1)$ は8の倍数です。したがって、差は8の倍数になります。

(4) 大きい奇数は $2n+3$ なので、$8(n+1)$ を $2n+3$ で割ったときの商を求めます。

これは直接割るのではなく、差を大きい奇数で表すことを考えます。

$8(n+1) = a(2n+3)$ となる $a$ を求めれば良いです。

差である $8n+8$ をよく見ると、$4(2n+3) = 8n+12$ です。

$8n+8$ と $8n+12$ の差は4なので、$8n+8 = 4(2n+3) - 4$ となります。

従って、$8n+8 = 4(2n+1) + 4$ と書き換えられます。

つまり、$8(n+1) = 4(2n+1 + 1) = 8n + 8$

差である $8(n+1)$ を大きい奇数 $(2n+3)$ の倍数で表すことはできません。

しかし、問題文から、大きい奇数の「何倍」になるかを求める問題ではなく、差が何かの倍数になるか、そして、▢にあてはまる最も大きい数を答える問題であると解釈できます。

従って、大きい奇数をそのまま答えれば良いと判断します。

3. 最終的な答え

連続する2つの奇数の大きい数を $2n+3$ とすると、

$n = \frac{(2n+3)-3}{2}$ なので

差は $8(\frac{(2n+3)-3}{2}+1) = 8(\frac{2n+3-3+2}{2}) = 8(\frac{2n+2}{2}) = 8(n+1) = 4(2n+2)$.

大きい数の平方から小さい数の平方をひいた差は、8の倍数になる。

▢にあてはまるもっとも大きい数は、$2n+3$。

最終的に解答する内容は以下：

大きい数の平方から小さい数の平方をひいた差は、8の倍数になる。

▢にあてはまるもっとも大きい数は、$2n+3$ （または文字を使わないで答えるならば「大きい方の奇数」）。

証明は、上記の手順(1)～(3)の通り。