数列 $\{a_k\}$ の第 $k$ 項 $a_k$ ($k \le n$) と和 $S$ を求める問題です。数列は $1(2n-1), 3(2n-3), 5(2n-5), \dots , (2n-3) \cdot 3, (2n-1) \cdot 1$ で与えられています。

1. 問題の内容

数列 $\{a_k\}$ の第 $k$ 項 $a_k$ ($k \le n$) と和 $S$ を求める問題です。数列は

$1(2n-1), 3(2n-3), 5(2n-5), \dots , (2n-3) \cdot 3, (2n-1) \cdot 1$

で与えられています。

2. 解き方の手順

まず、数列の第 $k$ 項 $a_k$ を求めます。

$a_k$ は奇数と $(2n - (2k-1))$ の積で表されています。

奇数の部分は $2k-1$ で表され、$(2n - (2k-1))$ の部分は $2n - 2k + 1$ となります。したがって、$a_k$ は次のように表されます。

$a_k = (2k-1)(2n-2k+1)$

次に、和 $S$ を求めます。$S = \sum_{k=1}^{n} a_k$ となります。

$S = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2n-2k+1) = \sum_{k=1}^{n} (4nk - 4k^2 + 2k - 2n + 2k - 1)$

$S = \sum_{k=1}^{n} (4nk - 4k^2 + 4k - 2n - 1)$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ を用いると、

$S = 4n \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - (2n+1) \cdot n$

$S = 2n^2(n+1) - \frac{2}{3} n(n+1)(2n+1) + 2n(n+1) - 2n^2 - n$

$S = 2n^3 + 2n^2 - \frac{2}{3} n (2n^2 + 3n + 1) + 2n^2 + 2n - 2n^2 - n$

$S = 2n^3 + 2n^2 - \frac{4}{3} n^3 - 2n^2 - \frac{2}{3}n + n$

$S = 2n^3 - \frac{4}{3} n^3 + n - \frac{2}{3} n$

$S = \frac{6n^3 - 4n^3}{3} + \frac{3n - 2n}{3} = \frac{2n^3}{3} + \frac{n}{3} = \frac{n(2n^2+1)}{3}$

3. 最終的な答え

第 $k$ 項: $a_k = (2k-1)(2n-2k+1)$

和: $S = \frac{n(2n^2+1)}{3}$