行列 $A$ による線形写像 $T_A$ が与えられており、 $T_A \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $T_A \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}$ である。このとき、ベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ の像 $T_A \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ を求める。 (1) $\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ の線形結合で表すときの係数 $c_1$ と $c_2$ を求める。 (2) (1)で求めた $c_1$ と $c_2$ を用いて、$\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ の像 $T_A \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ を計算する。 (3) 上の条件を満たす行列 $A$ の例を1つ求める。

1. 問題の内容

行列 $A$ による線形写像 $T_A$ が与えられており、

$T_A \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $T_A \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix}$

である。このとき、ベクトル $\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ の像 $T_A \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ を求める。

(1) $\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ の線形結合で表すときの係数 $c_1$ と $c_2$ を求める。

(2) (1)で求めた $c_1$ と $c_2$ を用いて、$\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ の像 $T_A \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ を計算する。

(3) 上の条件を満たす行列 $A$ の例を1つ求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$

より、以下の連立方程式を得る。

$c_1 - c_2 = 0$

$-2c_1 + 3c_2 = -2$

$c_1 - c_2 = 0$

1つ目の式と3つ目の式は同じなので、

$c_1 = c_2$

これを2つ目の式に代入すると、

$-2c_1 + 3c_1 = -2$

$c_1 = -2$

したがって、$c_2 = -2$

(2)

$T_A \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = T_A \left( -2 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \right)$

線形性より、

$T_A \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = -2 T_A \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} - 2 T_A \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$

$= -2 \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) [-2,-2]

(2)

$\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix}$

(3)

問題文だけからは行列 $A$ は一意に定まらないため、$A$の例を求めることができない。