複素数平面上に原点Oと異なる3点$z_1, z_2, z_3$がある。以下の条件(A), (B), (C)を満たすとき、$z_3 = az_1 + bz_2$となる実数$a, b$をそれぞれ$|z_1|, |z_2|$を用いて表す。 (A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$ (B) 点$z_3$は2点$z_1, z_2$を通る直線に関して点Oと反対側にある。 (C) $\triangle z_1 z_2 z_3$は正三角形

1. 問題の内容

複素数平面上に原点Oと異なる3点$z_1, z_2, z_3$がある。以下の条件(A), (B), (C)を満たすとき、$z_3 = az_1 + bz_2$となる実数$a, b$をそれぞれ$|z_1|, |z_2|$を用いて表す。

(A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$

(B) 点$z_3$は2点$z_1, z_2$を通る直線に関して点Oと反対側にある。

(C) $\triangle z_1 z_2 z_3$は正三角形

2. 解き方の手順

条件(A)より、$\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{2}{3}\pi$であるから、$z_1 = |z_1| e^{i(\arg z_2 + \frac{2}{3}\pi)}$、$z_2 = |z_2| e^{i\arg z_2}$と表せる。

条件(C)より、$\triangle z_1 z_2 z_3$は正三角形であるから、$z_3$は$z_1$または$z_2$を中心に$z_1$と$z_2$の差を$\pm\frac{\pi}{3}$回転させた位置にある。すなわち、

$z_3 = z_1 + e^{\pm i\frac{\pi}{3}}(z_2 - z_1)$ または $z_3 = z_2 + e^{\pm i\frac{\pi}{3}}(z_1 - z_2)$

条件(B)より、$z_3$は2点$z_1, z_2$を通る直線に関して原点と反対側にあるので、$\triangle z_1 z_2 z_3$の外側に原点がある。したがって、$z_3 = z_1 + e^{i\frac{\pi}{3}}(z_2 - z_1)$となる。

$z_3 = z_1 + (\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})(z_2 - z_1)$

$= z_1 + (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})(z_2 - z_1)$

$= z_1 + \frac{1}{2}z_2 - \frac{1}{2}z_1 + i\frac{\sqrt{3}}{2}z_2 - i\frac{\sqrt{3}}{2}z_1$

$= \frac{1}{2}z_1 + \frac{1}{2}z_2 + i\frac{\sqrt{3}}{2}(z_2-z_1)$

したがって、$z_3 = az_1 + bz_2$より、$a = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$、$b = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$となり、実数ではない。

条件(B)より、$z_3 = \alpha z_1 + (1-\alpha)z_2$ ($1-\alpha<0$)となる実数$\alpha$が存在する。正三角形より、$|z_1-z_3| = |z_2-z_3| = |z_1-z_2|$.

$|z_1 - z_3|^2 = |z_1 - \alpha z_1 - (1-\alpha)z_2|^2 = |(1-\alpha)z_1 - (1-\alpha)z_2|^2 = (1-\alpha)^2 |z_1-z_2|^2$

$|z_2 - z_3|^2 = |z_2 - \alpha z_1 - (1-\alpha)z_2|^2 = |z_2 - \alpha z_1 - z_2 + \alpha z_2|^2 = |-\alpha z_1 + \alpha z_2|^2 = \alpha^2 |z_1-z_2|^2$

$|z_1-z_3|=|z_2-z_3|$より、$(1-\alpha)^2 = \alpha^2$.　つまり、$1-2\alpha+\alpha^2 = \alpha^2$となるので、$\alpha = \frac{1}{2}$.

$1-\alpha < 0$より、$\alpha > 1$. したがって、$z_3$は正三角形の内部にある。矛盾。

$|z_1-z_2| = \sqrt{|z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_2|\cos(\frac{2}{3}\pi)} = \sqrt{|z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_1||z_2|}$

$a = -\frac{|z_2|}{|z_1|+|z_2|}$、$b = \frac{|z_1|}{|z_1|+|z_2|}$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{|z_2|}{\sqrt{|z_1|^2+|z_1||z_2|+|z_2|^2}}$

$b = \frac{|z_1|}{\sqrt{|z_1|^2+|z_1||z_2|+|z_2|^2}}$