与えられた行列を、対称行列と交代行列の和として表す。

1. 問題の内容

与えられた行列を、対称行列と交代行列の和として表す。

2. 解き方の手順

任意の正方行列 $A$ は、対称行列と交代行列の和として表すことができる。具体的には、

$A = S + K$

ここで、$S$ は対称行列、$K$ は交代行列であり、それぞれ

$S = \frac{1}{2}(A + A^T)$

$K = \frac{1}{2}(A - A^T)$

で与えられる。$A^T$ は $A$ の転置行列である。

(1) の場合：

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

$S = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & 4 \end{pmatrix}$

$K = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$

(2) の場合：

$A = \begin{pmatrix} 6 & -1 & 2 \\ -3 & 0 & 5 \\ 4 & -2 & -9 \end{pmatrix}$

$A^T = \begin{pmatrix} 6 & -3 & 4 \\ -1 & 0 & -2 \\ 2 & 5 & -9 \end{pmatrix}$

$S = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 6 & -1 & 2 \\ -3 & 0 & 5 \\ 4 & -2 & -9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 & -3 & 4 \\ -1 & 0 & -2 \\ 2 & 5 & -9 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 12 & -4 & 6 \\ -4 & 0 & 3 \\ 6 & 3 & -18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -2 & 3 \\ -2 & 0 & \frac{3}{2} \\ 3 & \frac{3}{2} & -9 \end{pmatrix}$

$K = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 6 & -1 & 2 \\ -3 & 0 & 5 \\ 4 & -2 & -9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 & -3 & 4 \\ -1 & 0 & -2 \\ 2 & 5 & -9 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \\ -2 & 0 & 7 \\ 2 & -7 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & \frac{7}{2} \\ 1 & -\frac{7}{2} & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix} 6 & -1 & 2 \\ -3 & 0 & 5 \\ 4 & -2 & -9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -2 & 3 \\ -2 & 0 & \frac{3}{2} \\ 3 & \frac{3}{2} & -9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & \frac{7}{2} \\ 1 & -\frac{7}{2} & 0 \end{pmatrix}$