与えられた式 $6x^2 + 5xy - 6y^2 + x - 5y - 1$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $6x^2 + 5xy - 6y^2 + x - 5y - 1$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$6x^2 + (5y+1)x - (6y^2 + 5y + 1)$

次に、定数項部分の $- (6y^2 + 5y + 1)$ を因数分解します。

$6y^2 + 5y + 1 = (2y+1)(3y+1)$

したがって、定数項は $-(2y+1)(3y+1)$となります。

与式は

$6x^2 + (5y+1)x - (2y+1)(3y+1)$

と書けます。

次に、$6x^2$ を $3x$ と $2x$ に分解し、定数項 $-(2y+1)(3y+1)$ が $(2y+1)$ と $-(3y+1)$ に分解できることを利用して、

$(3x - (3y+1))(2x + (2y+1))$

となるかどうかを調べます。

$(3x - 3y - 1)(2x + 2y + 1) = 6x^2 + 6xy + 3x - 6xy - 6y^2 - 3y - 2x - 2y - 1 = 6x^2 - 6y^2 + x - 5y - 1$

これは $5xy$ の項がないので、別の組み合わせを考えます。

$6x^2$を $6x$ と $x$に分解し、定数項 $-(2y+1)(3y+1)$ が $(3y+1)$ と $-(2y+1)$ に分解できることを利用して、

$(6x + (3y+1))(x - (2y+1))$

となるかどうかを調べます。

$(6x + 3y + 1)(x - 2y - 1) = 6x^2 - 12xy - 6x + 3xy - 6y^2 - 3y + x - 2y - 1 = 6x^2 - 9xy - 6y^2 - 5x - 5y - 1$

これも違います。

$(2x + ay + b)(3x + cy + d)$ の形を考えます。

$6x^2 + (3a + 2c)xy + acy^2 + (2d + 3b)x + (ad + bc)y + bd$

$acy^2 = -6y^2$

$ac = -6$

$3a + 2c = 5$

$bd = -1$

$2d + 3b = 1$

$ad + bc = -5$

$a = 3, c = -2$

$2d + 3b = 1$

$3d - 2b = -5$

$2d + 3b = 1$

$6d - 4b = -10$

$6d + 9b = 3$

$-13b = -13$

$b = 1$

$2d + 3 = 1$

$2d = -2$

$d = -1$

$(2x + 3y + 1)(3x - 2y - 1)$

$= 6x^2 - 4xy - 2x + 9xy - 6y^2 - 3y + 3x - 2y - 1$

$= 6x^2 + 5xy - 6y^2 + x - 5y - 1$

3. 最終的な答え

$(2x + 3y + 1)(3x - 2y - 1)$