与えられた等比数列の情報から、一般項を求める問題です。 (1) 第5項が-48、第7項が-192である等比数列の一般項を求める。 (2) 第2項が14、第5項が112である等比数列の一般項を求める。 ただし、公比は実数とする。

1. 問題の内容

与えられた等比数列の情報から、一般項を求める問題です。

(1) 第5項が-48、第7項が-192である等比数列の一般項を求める。

(2) 第2項が14、第5項が112である等比数列の一般項を求める。

ただし、公比は実数とする。

2. 解き方の手順

(1)

等比数列の一般項を $a_n = ar^{n-1}$とする。ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項番号である。

与えられた情報から、以下の式が成り立つ。

$a_5 = ar^4 = -48$

$a_7 = ar^6 = -192$

$a_7$を$a_5$で割ることで、$r^2$を求める。

$\frac{a_7}{a_5} = \frac{ar^6}{ar^4} = r^2 = \frac{-192}{-48} = 4$

したがって、$r = \pm 2$。

(i) $r = 2$のとき

$ar^4 = a(2^4) = 16a = -48$

$a = -3$

一般項は $a_n = -3(2^{n-1})$

(ii) $r = -2$のとき

$ar^4 = a(-2)^4 = 16a = -48$

$a = -3$

一般項は $a_n = -3(-2)^{n-1}$

(2)

等比数列の一般項を $a_n = ar^{n-1}$とする。ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項番号である。

与えられた情報から、以下の式が成り立つ。

$a_2 = ar = 14$

$a_5 = ar^4 = 112$

$a_5$を$a_2$で割ることで、$r^3$を求める。

$\frac{a_5}{a_2} = \frac{ar^4}{ar} = r^3 = \frac{112}{14} = 8$

したがって、$r = 2$。

$ar = 2a = 14$

$a = 7$

一般項は $a_n = 7(2^{n-1})$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = -3(2^{n-1})$ または $a_n = -3(-2)^{n-1}$

(2) $a_n = 7(2^{n-1})$