実数 $a$ に対して、$\sqrt{9a^2 - 6a + 1} + |a+2|$ を簡単にすることを考えます。$a$ の範囲によって場合分けが与えられています。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、$\sqrt{9a^2 - 6a + 1} + |a+2|$ を簡単にすることを考えます。$a$ の範囲によって場合分けが与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{9a^2 - 6a + 1}$ を簡単にします。

$9a^2 - 6a + 1 = (3a)^2 - 2(3a)(1) + 1^2 = (3a - 1)^2$ であるから、

$\sqrt{9a^2 - 6a + 1} = \sqrt{(3a - 1)^2} = |3a - 1|$ となります。

したがって、与えられた式は $|3a - 1| + |a + 2|$ となります。

(1) $a > \frac{1}{3}$ のとき、

$3a > 1$ より $3a - 1 > 0$ であるから $|3a - 1| = 3a - 1$ です。

また、$a > \frac{1}{3} > -2$ より $a + 2 > 0$ であるから $|a + 2| = a + 2$ です。

よって、

$|3a - 1| + |a + 2| = (3a - 1) + (a + 2) = 4a + 1$

(2) $-2 \leq a \leq \frac{1}{3}$ のとき、

$3a \leq 1$ より $3a - 1 \leq 0$ であるから $|3a - 1| = -(3a - 1) = -3a + 1$ です。

また、$a \geq -2$ より $a + 2 \geq 0$ であるから $|a + 2| = a + 2$ です。

よって、

$|3a - 1| + |a + 2| = (-3a + 1) + (a + 2) = -2a + 3$

(3) $a < -2$ のとき、

$3a < -6 < 1$ より $3a - 1 < 0$ であるから $|3a - 1| = -(3a - 1) = -3a + 1$ です。

また、$a < -2$ より $a + 2 < 0$ であるから $|a + 2| = -(a + 2) = -a - 2$ です。

よって、

$|3a - 1| + |a + 2| = (-3a + 1) + (-a - 2) = -4a - 1$

3. 最終的な答え

(1) $a > \frac{1}{3}$ のとき: $4a + 1$

(2) $-2 \leq a \leq \frac{1}{3}$ のとき: $-2a + 3$

(3) $a < -2$ のとき: $-4a - 1$