(1) 公比が-2で、初項から第10項までの和が-1023である等比数列の初項を求める。 (2) 第2項が6で、初項から第3項までの和が21である等比数列の初項と公比を求める。

1. 問題の内容

(1) 公比が-2で、初項から第10項までの和が-1023である等比数列の初項を求める。

(2) 第2項が6で、初項から第3項までの和が21である等比数列の初項と公比を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の初項を $a$、公比を $r$、初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

が成り立つ。この公式を利用する。

与えられた条件から $r = -2$ かつ $S_{10} = -1023$ であるので、

$-1023 = \frac{a(1-(-2)^{10})}{1-(-2)}$

$-1023 = \frac{a(1-1024)}{3}$

$-1023 = \frac{-1023a}{3}$

$-3069 = -1023a$

$a = \frac{-3069}{-1023} = 3$

(2) 等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とする。

第2項が6であるから、$ar = 6$　…(1)

初項から第3項までの和が21であるから、$a + ar + ar^2 = 21$　…(2)

(1)より、$a = \frac{6}{r}$

これを(2)に代入すると、

$\frac{6}{r} + 6 + 6r = 21$

$\frac{6}{r} + 6r = 15$

両辺に $r$ を掛けると、

$6 + 6r^2 = 15r$

$6r^2 - 15r + 6 = 0$

$2r^2 - 5r + 2 = 0$

$(2r-1)(r-2) = 0$

よって、$r = \frac{1}{2}, 2$

$r = \frac{1}{2}$ のとき、$a = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12$

$r = 2$ のとき、$a = \frac{6}{2} = 3$

3. 最終的な答え

(1) 初項：3

(2) 初項：12、公比：1/2 または 初項：3、公比：2