$x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$ のとき、$x^2 + xy + y^2$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}$ のとき、$x^2 + xy + y^2$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x+y$ と $xy$ の値をそれぞれ求めます。

$x + y = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2} + \sqrt{10} - \sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}$

$xy = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2} = \frac{(\sqrt{10} + \sqrt{2})(\sqrt{10} - \sqrt{2})}{4} = \frac{10 - 2}{4} = \frac{8}{4} = 2$

次に、$x^2 + xy + y^2$ を $(x+y)^2$ と $xy$ を用いて表します。

$x^2 + xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 - xy = (x+y)^2 - xy$

$x+y = \sqrt{10}$、 $xy = 2$ を代入して計算します。

$(x+y)^2 - xy = (\sqrt{10})^2 - 2 = 10 - 2 = 8$

3. 最終的な答え

$x^2 + xy + y^2 = 8$