与えられた3つの式の二重根号を外して簡単にせよ。 (1) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式の二重根号を外して簡単にせよ。

(1) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$

根号の中を $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の形にする。

$7 = a^2 + b^2$ かつ $10 = a^2b^2$ となる $a, b$ を探す。

$a = \sqrt{5}$, $b = \sqrt{2}$ とすると、$a^2 + b^2 = 5 + 2 = 7$ かつ $a^2b^2 = 5 \times 2 = 10$。

よって、

$\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$。

(2) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$

まず、$\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{9(4 - 2\sqrt{3})} = 3\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$。

根号の中を $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の形にする。

$4 = a^2 + b^2$ かつ $3 = a^2b^2$ となる $a, b$ を探す。

$a = \sqrt{3}$, $b = 1$ とすると、$a^2 + b^2 = 3 + 1 = 4$ かつ $a^2b^2 = 3 \times 1 = 3$。

よって、

$3\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = 3\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = 3(\sqrt{3} - 1) = 3\sqrt{3} - 3$。

(3) $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$

$\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}$ の公式を利用する。

$a = 3$, $b = 5$ なので、$a^2 - b = 9 - 5 = 4$。

$\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{4}}{2}} + \sqrt{\frac{3 - \sqrt{4}}{2}} = \sqrt{\frac{3 + 2}{2}} + \sqrt{\frac{3 - 2}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $3\sqrt{3} - 3$

(3) $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$