与えられた3つの式の二重根号を外して簡単にせよ。 (1) $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$

代数学根号二重根号平方根式の計算
2025/5/17

1. 問題の内容

与えられた3つの式の二重根号を外して簡単にせよ。
(1) 7+210\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}
(2) 1263\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}
(3) 3+5\sqrt{3 + \sqrt{5}}

2. 解き方の手順

(1) 7+210\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}
根号の中を (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 の形にする。
7=a2+b27 = a^2 + b^2 かつ 10=a2b210 = a^2b^2 となる a,ba, b を探す。
a=5a = \sqrt{5}, b=2b = \sqrt{2} とすると、a2+b2=5+2=7a^2 + b^2 = 5 + 2 = 7 かつ a2b2=5×2=10a^2b^2 = 5 \times 2 = 10
よって、
7+210=(5+2)2=5+2\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{2}
(2) 1263\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}
まず、1263=9(423)=3423\sqrt{12 - 6\sqrt{3}} = \sqrt{9(4 - 2\sqrt{3})} = 3\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}
根号の中を (ab)2=a22ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 の形にする。
4=a2+b24 = a^2 + b^2 かつ 3=a2b23 = a^2b^2 となる a,ba, b を探す。
a=3a = \sqrt{3}, b=1b = 1 とすると、a2+b2=3+1=4a^2 + b^2 = 3 + 1 = 4 かつ a2b2=3×1=3a^2b^2 = 3 \times 1 = 3
よって、
3423=3(31)2=3(31)=3333\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = 3\sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = 3(\sqrt{3} - 1) = 3\sqrt{3} - 3
(3) 3+5\sqrt{3 + \sqrt{5}}
a+b=a+a2b2+aa2b2\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} の公式を利用する。
a=3a = 3, b=5b = 5 なので、a2b=95=4a^2 - b = 9 - 5 = 4
3+5=3+42+342=3+22+322=52+12=102+22=10+22\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{4}}{2}} + \sqrt{\frac{3 - \sqrt{4}}{2}} = \sqrt{\frac{3 + 2}{2}} + \sqrt{\frac{3 - 2}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}

3. 最終的な答え

(1) 5+2\sqrt{5} + \sqrt{2}
(2) 3333\sqrt{3} - 3
(3) 10+22\frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}

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