与えられた分数の分母を有理化する問題です。分数は $\frac{55}{2\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 5}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。分数は $\frac{55}{2\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 5}$ です。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sqrt[3]{3}$ とおくと、与えられた分数の分母は $2x^2 + x + 5$ となります。

ここで、$x = \sqrt[3]{3}$ なので、$x^3 = 3$ であることに注意します。

$2x^2 + x + 5$ に適当な式を掛けて、$x^3$ を含む式に変形することを考えます。

$(x-1)$ を掛けてみます。

$(2x^2 + x + 5)(x-1) = 2x^3 + x^2 + 5x - 2x^2 - x - 5 = 2x^3 - x^2 + 4x - 5$

これではうまくいきません。

そこで、 $x = \sqrt[3]{3}$ に対し、$ax^2+bx+c$ を掛けて $x^3-3$ の形が現れるようにすることを考えます。

分母の式を $2x^2+x+5$ とします。

$2x^2+x+5$ に $ax+b$ をかけた式を考えます。

$(2x^2+x+5)(ax+b) = 2ax^3 + ax^2 + 5ax + 2bx^2 + bx + 5b = 2ax^3 + (a+2b)x^2 + (5a+b)x + 5b$

この式が定数になるためには、 $a+2b=0$ かつ $5a+b=0$ となれば良いのですが、$a=0$かつ$b=0$ しか解がないのでうまくいきません。

ここで、$A = \sqrt[3]{3}$とおくと、

$2A^2 + A + 5 = 0$ は虚数解を持つので、有理化するのは難しそうです。

分母を $2\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 5$ とします。

$(\sqrt[3]{3})^3 = 3$ を利用して、分母を有理化します。

$(\sqrt[3]{3}-1)$ をかけてみます。

$(2\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 5)(\sqrt[3]{3}-1) = 2\sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{9} + 5\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} - 5 = 6 + \sqrt[3]{9} + 5\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} - 5 = 1 -\sqrt[3]{9} + 4\sqrt[3]{3}$

ここで, $A = \sqrt[3]{3}$ とおきます. すると分母は $2A^2 + A + 5$ となり, 分子に $aA^2+bA+c$ をかけると,

$55(aA^2+bA+c) / ((2A^2 + A + 5)(aA^2+bA+c)) = 55(aA^2+bA+c) / (2aA^4 + (2b+a)A^3 + (2c+b+5a)A^2 + (c+5b)A + 5c)$

$=55(aA^2+bA+c) / (6a + (2b+a)3 + (2c+b+5a)A^2 + (c+5b)A + 5c)$

$=55(aA^2+bA+c) / ((9a+6b+5c) + (c+5b)A + (2c+b+5a)A^2)$

これより, $c+5b=0$ かつ $2c+b+5a=0$ となるように a, b, c を定めることを考えます.

すると, $c=-5b$ であり, $2(-5b) + b + 5a = 0$ より $-10b + b + 5a = 0$ なので, $-9b+5a=0$ つまり $a = (9/5)b$ となります.

すると, 分母は $9(9/5)b + 6b + 5(-5b) = (81/5 + 6 - 25)b = (81+30-125)/5 b = -14/5 b$ となります.

$aA^2+bA+c = (9/5)b A^2 + b A - 5b = b((9/5)A^2 + A - 5)$

したがって, $\frac{55b((9/5)A^2 + A - 5)}{(-14/5)b} = \frac{55 * 5}{-14}((9/5)A^2 + A - 5) = \frac{-275}{14} (\frac{9}{5} \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} - 5)$

$=\frac{-275}{14}(\frac{9\sqrt[3]{9}}{5}+\sqrt[3]{3}-5)$

$=\frac{-55}{14}(9\sqrt[3]{9}+5\sqrt[3]{3}-25)$

3. 最終的な答え

$\frac{-55(9\sqrt[3]{9}+5\sqrt[3]{3}-25)}{14}$