1. 問題の内容
与えられた分数の分母を有理化する問題です。分数は です。
2. 解き方の手順
まず、 とおくと、与えられた分数の分母は となります。
ここで、 なので、 であることに注意します。
に適当な式を掛けて、 を含む式に変形することを考えます。
を掛けてみます。
これではうまくいきません。
そこで、 に対し、 を掛けて の形が現れるようにすることを考えます。
分母の式を とします。
に をかけた式を考えます。
この式が定数になるためには、 かつ となれば良いのですが、かつ しか解がないのでうまくいきません。
ここで、とおくと、
は虚数解を持つので、有理化するのは難しそうです。
分母を とします。
を利用して、分母を有理化します。
をかけてみます。
ここで, とおきます. すると分母は となり, 分子に をかけると,
これより, かつ となるように a, b, c を定めることを考えます.
すると, であり, より なので, つまり となります.
すると, 分母は となります.
したがって,