与えられた分数の分母を有理化する問題です。分数は $\frac{55}{2\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 5}$ です。

代数学有理化分数立方根
2025/5/17

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。分数は 55293+33+5\frac{55}{2\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 5} です。

2. 解き方の手順

まず、x=33x = \sqrt[3]{3} とおくと、与えられた分数の分母は 2x2+x+52x^2 + x + 5 となります。
ここで、x=33x = \sqrt[3]{3} なので、x3=3x^3 = 3 であることに注意します。
2x2+x+52x^2 + x + 5 に適当な式を掛けて、x3x^3 を含む式に変形することを考えます。
(x1)(x-1) を掛けてみます。
(2x2+x+5)(x1)=2x3+x2+5x2x2x5=2x3x2+4x5(2x^2 + x + 5)(x-1) = 2x^3 + x^2 + 5x - 2x^2 - x - 5 = 2x^3 - x^2 + 4x - 5
これではうまくいきません。
そこで、 x=33x = \sqrt[3]{3} に対し、ax2+bx+cax^2+bx+c を掛けて x33x^3-3 の形が現れるようにすることを考えます。
分母の式を 2x2+x+52x^2+x+5 とします。
2x2+x+52x^2+x+5ax+bax+b をかけた式を考えます。
(2x2+x+5)(ax+b)=2ax3+ax2+5ax+2bx2+bx+5b=2ax3+(a+2b)x2+(5a+b)x+5b(2x^2+x+5)(ax+b) = 2ax^3 + ax^2 + 5ax + 2bx^2 + bx + 5b = 2ax^3 + (a+2b)x^2 + (5a+b)x + 5b
この式が定数になるためには、 a+2b=0a+2b=0 かつ 5a+b=05a+b=0 となれば良いのですが、a=0a=0かつb=0b=0 しか解がないのでうまくいきません。
ここで、A=33A = \sqrt[3]{3}とおくと、
2A2+A+5=02A^2 + A + 5 = 0 は虚数解を持つので、有理化するのは難しそうです。
分母を 293+33+52\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 5 とします。
(33)3=3(\sqrt[3]{3})^3 = 3 を利用して、分母を有理化します。
(331)(\sqrt[3]{3}-1) をかけてみます。
(293+33+5)(331)=2273+93+533293335=6+93+533293335=193+433(2\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 5)(\sqrt[3]{3}-1) = 2\sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{9} + 5\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} - 5 = 6 + \sqrt[3]{9} + 5\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} - 5 = 1 -\sqrt[3]{9} + 4\sqrt[3]{3}
ここで, A=33A = \sqrt[3]{3} とおきます. すると分母は 2A2+A+52A^2 + A + 5 となり, 分子に aA2+bA+caA^2+bA+c をかけると,
55(aA2+bA+c)/((2A2+A+5)(aA2+bA+c))=55(aA2+bA+c)/(2aA4+(2b+a)A3+(2c+b+5a)A2+(c+5b)A+5c)55(aA^2+bA+c) / ((2A^2 + A + 5)(aA^2+bA+c)) = 55(aA^2+bA+c) / (2aA^4 + (2b+a)A^3 + (2c+b+5a)A^2 + (c+5b)A + 5c)
=55(aA2+bA+c)/(6a+(2b+a)3+(2c+b+5a)A2+(c+5b)A+5c)=55(aA^2+bA+c) / (6a + (2b+a)3 + (2c+b+5a)A^2 + (c+5b)A + 5c)
=55(aA2+bA+c)/((9a+6b+5c)+(c+5b)A+(2c+b+5a)A2)=55(aA^2+bA+c) / ((9a+6b+5c) + (c+5b)A + (2c+b+5a)A^2)
これより, c+5b=0c+5b=0 かつ 2c+b+5a=02c+b+5a=0 となるように a, b, c を定めることを考えます.
すると, c=5bc=-5b であり, 2(5b)+b+5a=02(-5b) + b + 5a = 0 より 10b+b+5a=0-10b + b + 5a = 0 なので, 9b+5a=0-9b+5a=0 つまり a=(9/5)ba = (9/5)b となります.
すると, 分母は 9(9/5)b+6b+5(5b)=(81/5+625)b=(81+30125)/5b=14/5b9(9/5)b + 6b + 5(-5b) = (81/5 + 6 - 25)b = (81+30-125)/5 b = -14/5 b となります.
aA2+bA+c=(9/5)bA2+bA5b=b((9/5)A2+A5)aA^2+bA+c = (9/5)b A^2 + b A - 5b = b((9/5)A^2 + A - 5)
したがって, 55b((9/5)A2+A5)(14/5)b=55514((9/5)A2+A5)=27514(9593+335)\frac{55b((9/5)A^2 + A - 5)}{(-14/5)b} = \frac{55 * 5}{-14}((9/5)A^2 + A - 5) = \frac{-275}{14} (\frac{9}{5} \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} - 5)
=27514(9935+335)=\frac{-275}{14}(\frac{9\sqrt[3]{9}}{5}+\sqrt[3]{3}-5)
=5514(993+53325)=\frac{-55}{14}(9\sqrt[3]{9}+5\sqrt[3]{3}-25)

3. 最終的な答え

55(993+53325)14\frac{-55(9\sqrt[3]{9}+5\sqrt[3]{3}-25)}{14}

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